高一物理前两章系统总结

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高一物理前两章系统总结

物理必修一知识点总结

第一章运动的描述第一节质点、参考系和坐标系质点1定义：有质量而不计形状和大小的点。2理想模型3视为质点条件：物体的大小和形状对所研究问题影响可以忽略不计1定义：用来作参考的物体。2运动是绝对的，静止是相对的。描述一个物体的运动必须选取一个参照物（假定其静止），即为参考系。我们只能描述相对运动，无法描述绝对运动。3参考系的选择是任意的，选取不同的参考系，运动的描述不同定量分析时引入数学坐标系1在表示时间的数轴上，时刻用点表示，时间间隔用线段表示。2第一秒末和第二秒初是同一个时刻3时刻对应位置，时间对应位移和路程路程：物体运动轨迹的长度。是标量位移：1表示物体（质点）的位置变化。2从初位置到末位置作一条有向线段表示位移。是矢量对于同一个运动，位移的大小小于等于路程，只有当单向直线运动时，位移的大小等于路程。速度第三节运动快慢的描述速速率度1定义：用位移与发生这个位移所用时间的比值表示物体运动的快慢。2公式：v=Δx/Δt3单位：米每秒（m/s）4速度是矢量，既有大小，又有方向。5速度的大小在数值上等于单位时间内物体位移的大小，速度的方向也就是物体运动的方向。1定义：用路程与发生这个路程所用时间的比值表示物体运动的快慢。2公式v=Δs/Δt3标量4速率等于单位时间内物体路程的大小平均速度物体在时间间隔内的平均快慢程度。瞬时速度时间间隔趋向于0，在这个时间间隔内的平均速度。平均速率大于等于平均速度的大小，只有当匀速直线运动二者大小相等瞬时速率Δt趋向于0的时候Δx的大小就等于Δs所以瞬时速率就是瞬时速度的大小参考系坐标系第二节时间和位移时刻和时间间隔路程和位移平均速度和瞬时速度平均速率和瞬时速率第四节实验：用打X-T图像不是质点的运动轨迹，而是反应质点的位移和时间的关系：匀速直线运动的X-T图像是一条直线，斜率就是速度电磁打点计时器电火花计时器点计时器测速度练习使用打点计时器用打点计时器测量瞬时速度用图象表示速度速度时间图像（v-t图象）：描述速度v与时间t关系的图象。第五节加速度速度变化快慢的描述加速度加速度方向与速度方向从v-t图象看加速度第一节实验：探究小车速度随时间变化的规律定义：速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值。公式：a=Δv/Δt单位：米每二次方秒（m/s2）在直线运动中，如果速度增加，加速度的方向与速度的方向相同；如果速度减小，加速度的大方向与速度的方向相反。从曲线的倾斜程度就饿能判断加速度的大小第二章匀变速直线运动实验目的：学会使用打点计时器运用V-T图像探究小车速度随时间的变化规律实验原理：小车在钩码的牵引下做加速直线运动，并拖动纸带，打点计时器每隔0.02s在纸带上打一个点。选取适当的点做计数点，量出距离就可以算出各计数点间的平均速度处理数据：1采集数据的方法，不直接测量两个计数点间的距离，而是量出各个计数点到计时零点的距离，然后再算出相邻两点间的距离。2速度的计算法，各计数点的瞬时速度用计数点内的平均速度来代替.3加速度的计算，作出速度时间图象，求斜率。匀变速直线运动的特点速度与时间的关系式沿着一条直线，且加速度不变的运动。A与v同向，匀加速直线运动A与v反向，匀减速直线运动速度公式：v=v0+at当vo0,vtat匀变速直线运动平均速度v第三节匀变速直线运动的位移与时间的关系vtvo2第二节匀变速直线运动的速度与时间的关系微分思想：时间足够小时，速度的变化就非常小，当做匀速直线运动匀变速直线运动的位移位移公式：x=v0t+at/22运用v-t图像分析x图像和t轴所围成的图形面积就是x第四节匀变速直线运动的位移与速度的关系速度位移公式：v2-v0=2ax公式中的四个量要统一正方向推论：1匀变速直线运动中连续相等的时间间隔内的位移差是一个恒量：设时间间隔为T，加速度为a，连续相等的时间间隔内的位移分别为S１，S２，S３，……SN；则S=S2－S1=S3－S2=……=SN－SN－1=aT22设在匀变速直线运动中物体在某段位移中初速度为v0，末速度为vt，在位v0vt22222移中点的瞬时速度为v，则中间位置的瞬时速度为v=s2s2无论匀加速还是匀减速总有v=v=t2v0vt2＜v=s2v0vt22初速度为零的匀加速直线运动规律：设T为时间单位（１）１s末、２s末、３s末、……ns末的瞬时速度之比为：ｖ1∶ｖ2∶ｖ3∶……：ｖn=1∶2∶3∶……∶n同理可得:１T末、２T末、３T末、……nT末的瞬时速度之比为：ｖ1∶ｖ2∶ｖ3∶……：ｖn=1∶2∶3∶……∶n（２）１s内、２s内、３s内……ｎs内位移之比为：S1∶S2∶S3∶……：Sn=12∶22∶32∶……∶n2同理可得:１T内、２T内、３T内……ｎT内位移之比为：S1∶S2∶S3∶……：Sn=12∶22∶32∶……∶n2（３）第一个１s内，第二个２s内，第三个３s内，……第n个1s内的位移之比为：SⅠ∶SⅡ∶SⅢ∶……：SN=1∶3∶5∶……∶（2n－1）同理可得:第一个T内，第二个T内，第三个T内，……第n个T内的位移之比为：SⅠ∶SⅡ∶SⅢ∶……：SN=1∶3∶5∶……∶（2n－1）（４）通过连续相等的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶……：tn=1∶（（32）∶………∶（21）∶nn1）自由落体运动自由落定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动。定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度。用g表示。一般的计算中，可以取g=9.8m/s2或g=10m/s第五节自由落体运动体加速度（重力加速度）（１）平均速度v=vt212（２）瞬时速度vtgtgt（４）重要推论2gsvt2（３）位移公式s=2总结：自由落体运动就是初速度v0=0，加速度a=g的匀加速直线运动．竖直上抛运动（１）瞬时速度vtv0gt（２）位移公式sv0t122gt22（３）重要推论2gsvtv0总结：竖直上抛运动就是加速度ag的匀变速直线运动第六节伽利略对自由落体运动的研究绵延两千年的错误逻辑的力量猜想与假说实验验证伽利略的科学方法

扩展阅读：高一物理必修2前两章知识点加习题

曲线运动万有引力定律

考点14运动的合成与分解平抛运动

△考纲要求△在考试说明中平抛运动属Ⅱ要求，运动的合成和分解属I要求，而曲线运动中质点的速度沿轨迹的切线方向，且必具有加速度为I要求.☆考点透视☆1.曲线运动

⑴特点：做曲线运动的质点，在某一点瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向.质点在曲线运动中的速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，但是变速运动不一定是曲线运动.如匀变速直线运动.

⑵物体做曲线运动的条件：从动力学角度看，如果物体所受合外力方向跟物体的速度方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动.从运动学角度看，就是加速度方向与速度方向不在同一直线上.

①如果这个合外力大小和方向都是恒定的.即所受的力为恒力，物体就做匀变速曲线运动，如平抛运动.

②如果这个合外力大小恒定，方向始终与速度垂直，物体就做匀速圆周运动，匀速圆周运动并非是匀速运动，即匀速圆周运动是非平衡的运动状态.

⑶曲线运动的轨迹：做曲线运动的物体其轨迹向合外力所指一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向.如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等.

⑷合运动轨迹的判断

两直线运动的合运动的性质和轨迹由各分运动的性质即合初速度与合加速度的方向关系决定：

①两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动.

②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍是匀变速运动.二者共线时为匀变速直线运动，如竖直上抛运动或竖直下抛运动；二者不共线时匀变速曲线运动，如平抛运动.

③两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动，当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动；当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动.

2.运动的合成与分解⑴合运动与分运动的关系

①等时性：合运动和分运动经历的时间相等.即同时开始，同时进行，同时停止.

②独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响.

③等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.

⑵运动的合成与分解的方法

①运动的合成与分解：包括位移、速度、加速度的合成和分解.它们与力的合成和分解一样都遵守平行四边形定则，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成，由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解，合运动和分运动具有等时性.研究运动合成和分解，目的在于把一些复杂的运动简化为比较简单的直线运动，这样就可以应用已经掌握的有关直线运动的规律，来研究一些复杂的曲线运动.

②运动合成的基本方法.

A．两个分运动必须是同一质点在同一时间内相对于同一参考系的运动.

B．两个分运动在同一直线上时，矢量运算转化为代数运算.先选定一正方向，凡与正方向相同的取正，相反取负，合运动为各分运动的代数和.例如：竖直上抛运动可以看成是竖直方向匀速运动和自由落体运动的合运动，即先取向上为正，则有：

vt=v0-gt

s=v0t-gt2/2

图A-4-14-1

C．不在同

一直线上，按照平行四边形法则合成，如图A-4-14-1所示

D．两分运动垂直或正交分解后的合成

2a合axa2y

2s合sxs2y

③运动分解的基本方法.

根据运动的实际效果将描述合运动规律的各物理量(位移、速度、加速度)按平行四边形定则分别分解，或进行正交分解.

注意：只有实际运动，才是供分解的“合运动”说明：小船过河问题的分析与求解方法

⑴处理方法：小船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静水中的船的运动)，船的实际运动是合运动.

⑵若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏

sin向上游，如图A-4-14-2甲所示，此时过河时间t=d/v合=d/v1

⑶若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图A-4-14-2乙所示，此时过河时间t=d/v1(d为河宽).

图A-4-14-2

3.平抛运动

⑴定义：将一物体水平抛出，物体只在重力作用下的运动性质：加速度为g的匀变速曲线运动，运动过程中水平速度不变，只是竖直速度不断增大，合速度大小、方向时刻改变.

⑵平抛运动的研究方法

将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动wenku_2({"font":{"13bfbfd87f1922791688e8a30010002":"TimesNewRoman","13bfbfd87f1922791688e8a300201*2":"TimesNewRomanBold","13bfbfd87f1922791688e8a30040002":"宋体","13bfbfd87f1922791688e8a30050002":"TimesNewRomanItalic","13bfbfd87f1922791688e8a300

⑴怎样渡河时间最短?⑵若V船>V水，怎样渡河位移最小?

⑶若V船v2)。河岸宽度为d，则战士想渡河救人，则摩托艇的最短距离为()

22A．dv2/v2v1g/2h

B．0

C．dv1/v2D．dv2/v1

5.有关运动的合成，以下说法中正确的是()A．两个直线运动的合运动一定是直线运动B．两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动

C．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动

D．匀加速运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动6.如图A-4-14-16所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是()

A．绳的拉力大于A的重力

决胜高考物理

B．绳的拉力等于A的重力C．绳的拉力小于A的重力

D．拉力先大于重力，后变为小于重力

7.如图A-4-14-17所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd．从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b点.若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则

它落在斜面上的()

A．b与c之间某一点B．c点

C．c与d之间某一点D．d点

8.如图A-4-14-18所

示，质量为m=0.10kg的小图A-4-14-17钢球以v0=10m/s的水平速度抛出，下落h=5.0m时撞击一钢板，撞后速度恰好反向，则钢板与水平面的夹角θ=，刚要撞击钢板

时小球动量的大小为

(取g=10m/s2)

图A-4-14-18

9.第一次从高为h处水平抛出一个球，其水平射程为s，第

二次用与前一次相同的速度从另一处水平抛出另一个球，水平射程比前一次多了△s，不计空气阻力，则第二次抛出点的高度为.

10.小船在200m宽的河中横渡，水流速度为2m/s，船在静水中的航速是4m/s，求：

(1)当小船的船头始终正对对岸时，它将在何时、何地到达对岸?

⑵要使小船到达正对岸，应如何行驶?历时多长?

11.A、B两个小球由柔顺的细线相连，线长L=6m；将A、B球先后以相同的初速度V0=4.5m/s，从同一点水平抛出(先A后B)，相隔时间△t=0.8s.求：

(1)A球抛出后经多少时间，细线刚好被拉直?⑵细线刚被拉直时，A、B球的水平位移(相对于抛出点)各多大?

12.据报道：曾驾驶汽车飞越黄河的亚洲第一飞人柯受良先生，201*年12月9

日突然死亡，令人震图A-5-14-19惊，下面三幅照片是

他飞越黄河时的照片，汽车从最高点开始到着地为止这一过程可以看作平抛运动.记者从侧面用照相机通过多次爆光，拍摄到汽车在经过最高点以后的三幅运动照片如图5-14-19所示.相邻两次爆光时间间隔相等，已知道汽车长度为L，则()

A．从左边一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小B．从左边一幅照片可推算出汽车曾经到达的最大高度C．从中间一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小，汽车曾经到达的最大高度

D．根据实验测得的数据，从右边一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小

13.子弹探究如图A-4-14-20所示，枪管AB对准小球C，ABC在同一水平线上，子弹射出枪口时，C球正好自由落下.已知BC距离s为100m，求：

⑴如果小球C落到h=20m处被击中，那么子弹离开枪口时的速度多大?

⑵如果子

弹离开枪口的速度为⑴中所

求数值的两

图A-4-14-20倍，那么子弹

能否击中这个小球?为什么?

⑶如果小球C不是自由落下，而是和子弹同时以10m/s的初速度沿子弹初速方向水平抛出，子弹速度仍为⑴中数值，那么子弹能否击中小球?在何处击中?(取g=10m/s2)

14.质量为m的飞机以水平速度V0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力).今测得当飞机在水平方向的位移为L时，它的上升高度为h.求：

(1)飞机受到的升力大小；⑵从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能.

直.以减小测量误差.

⑺计算初速度时，应选离O点远些的点，可使误差减小.6.对实验结果的分析和计算

对实验结果的分析与计算是实验者必须具备的能力，在分析和计算时，不仅要掌握平抛物体运动的规律，而且要特别注意应用匀变速直线运动的特殊规律分析，因为有的问题中第一个点并不是抛出点，因而不能用y=gt2/2求解.但是当竖直方向每相邻两点之间的时间间隔都相等时，可用△s=aT2等公式求解.◎命题趋势◎研究平抛物体的运动的实验是高考的热点，就高考命题方式看，着重对实验原理的考查，即平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，或根据实验的原理设计实验方案，并对实验数据的处理方法进行考查.※典型例析※【例l】在做“研究平抛运动”的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画小球做平抛运动的轨迹.为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上：a．通过调节使斜槽的末端保持水平b．每次释放小球的位置必须相同c．每次必须由静止释放小球

d．记录小球位置用的铅笔每次必须严格地等距离下降e．小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相接触

f．将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线

【解析】只有斜槽的末端保持水平.小球才具有水平初速度，其运动才是平抛运动，每次由静止释放小球，是为了使小球有相同的初速度.如果小球在运动过程中与木板上的白纸相接触就会改变它的运动，便不是平抛运动，故a、b、c、e选项正确.

【例2】如图A-4-15-2所示，在《研究平抛物体的运动》的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，每个小方格的边长L=1.25cm.若小球在平抛运动途中的几个位置为图中的a、b、c、d几点，则小球平抛的初速度的计算式为v0=(用L和g表示)，其值是，小球在b点的速率是.(取g=9.8m/s2)

【解析】根据运动学知识可

图A-4-15-2知：v0=2L/t①

△s=gT2②

其中△s=3L-2L=L，所以T代入①式得v0SgLg考点15实验《研究平抛物体的运动》

△考纲要求△本实验属命题热点，属于Ⅱ类要求.☆考点透视☆1.实验目的：

①用实验方法画出平抛物体的运动轨迹.②用实验轨迹求平抛物体的初速度.2.实验原理：

平抛运动可以看做是两个分运动的合成：一是水平方向上的匀速直线运动，其速度等于平抛物体运动的初速度；另一个是竖直方向上的自由落体运动，利用有孔的卡片确定做平抛运动的小球运动时的若干不同位置，然后描出运动轨迹，测出曲线上任一点的坐标x和y，利用公式x=vt和y=gt2/2就可求出小球的水平速度，即平抛物体的初速度.

3、实验器材

方木板、白纸、图钉、斜槽（附挡球板和铅垂线），小钢球，削尖的铅笔，刻度尺，水准仪。

4、实验步骤

⑴描绘小球做平抛运动的轨迹.

①把斜槽放在桌上，让它的末端伸出桌面外，调节斜槽末端使其切线方向水平后把斜槽固定在桌面上.

②用图钉把白纸钉在木板上，把木板沿竖直方向固定在支架上，并将其左上方靠近槽口，使小球在斜槽末端水平抛出后的轨道平面与纸面平

行（如图A-4-15-1所

示）.图A-4-15-1

③以斜槽末端为

平抛运动的起点O，在白纸上标出O的位置，过O点用重锤线画出竖直线，定为Y轴.

④让小球每次都从斜槽上某一适当位置由静止滚下，移动笔尖在白纸上的位置，当小球恰好与笔尖正碰时，在白纸上依次记下这一个个点的位置.

⑤把白纸从木板上取下来，用三角板过O点作竖直线y轴的垂线，定为x轴，再将上面依次记下的一个个点连成光滑曲线，这就是平抛小球的运动轨迹.

⑵求平抛小球的初速度

①在平抛小球运动轨迹上选取A、B、C、D、E五个点，测出它们的x、y坐标值，记到表格内。

②把测到的坐标值依次代入公式v0=x(g/2y)1/2，求出小球平抛的初速度；并计算其平均值.

5.实验注意事项：

⑴斜槽末端切线必须水平.

⑵每次从同一位置滚无初速释放小球，以使小球每一次抛出后轨迹相同，每次描出的点在同一条轨迹上.

⑶安装实验装置时，要注意使轨道末端与木板相靠近，并保持它们的相对位置不变.

⑷要用重锤线把木板校准到竖直方向，使小球运动靠近木板，又不接触木板.

⑸坐标原点不是槽口末端点，应是球在槽口时，球质心在图板上的水平投影点O.

⑹球的释放高度要适当，使其轨迹不致太平也不致于太竖

57，

2gL0.70m/s

gl(利用中间时刻的瞬

b点的竖直分速度vy3l32T2时速度等于整段时间的平均速度规律)

b点的速率vb2v0v2y52gL0.875m/s

【例3】试根据平抛运动原理设计“测量弹射器弹丸出射初速度”的实验方案，提供的实验器材为弹射器(含弹丸，见图A-4-15-3)、铁架台(带有夹具)、米尺.

⑴画出实验示意图.⑵在安装弹射器时应注意

⑶实验中需要测量的量

图A-4-15-3

决胜高考物理

(并在示意图中用字母标出)为⑷由于弹射器每次射出的弹丸初速度不可能完全相等，在实验中应采取的方法是

⑸计算公式为【解析】⑴实验示意图A-4-15-4所示.

⑵弹射器必须保持水平.⑶弹丸下降高度y和水平射程x.⑷在不改变高度y的条件下进行多次实验，测量水平射程x，得出平均水平射程x.

g图A-4-15-4⑸v0x2y◇过关检测◇1.在研究物体的平抛运动实验中，下述各情况中不会对本实验产生偏差的有()

A．小球与槽之间的摩擦B．小球飞离后受空气阻力C．小球每次释放时的高度不同

D．小球飞过竖直板时与竖直板之间发生摩擦E.小球每次释放或小球运动途中，竖直板与斜槽的相对

位置明显变化

2.在做“研究平抛物体的运动”实验时，坐标纸应当固定在竖直的木板上，图A-4-15-5中所示坐标纸的固定情况与斜槽末端的关系正确的是()

图A-4-15-5

5.在研究平抛物体的运动的实验中，已测出落下高度h与对应的射程x如下表所示，则物体水平初速度为m/s，(当地重力加速度为g=9.8m／s2)h(m)x(m)5.02.011.253.15204.424.24.66.如图A-4-15-6所示，图甲是研究平抛运动的实验装置图，图乙是实验后在白纸上作的图

图A-4-15-6

⑴说明甲图中标出O点及x、y轴，并说明这两条坐标轴是如何作出的.

⑵说明：要求槽口切线水平的原因及判定方法.

⑶实验过程中需经过多次释放小球才能描绘出小球运动的轨迹，进行这一实验步骤时应注意什么?为什么?

⑷根据图乙给出的数据，计算此平抛运动的初速度.

7.如图A-4-15-7所示为用频闪摄影方法拍摄的研究物体做平抛运动规律的照片，图中A、B、C为三个同时由

AA/为A同一点出发的小球，

球在光滑水平面上以速度V

BB/为B球以速运动的轨迹，

度v被水平抛出后的运动轨迹，CC/为C球自由下落的运动轨迹。通过分析上述三条轨迹可得出结图A-4-15-7论：.8.如图A-4-15-8是某小球做平抛运动时所拍闪光照片的一部分.图中背景方格的实际边长均为5cm，横线为水平方向，竖线为竖直方向，由此可以断定，照片拍摄时，闪光的频率为多少?小球抛出的初速度大小是多少?(g取10m/s2)

9.某同学做平抛物体运动

图A-4-15-8的实验时，不慎未定好原点，

只画了竖直线，而且只描出了平抛物体的后一部分轨迹，如图A-4-15-9所示，依此图加上一把刻度尺，如何计算出平抛物体的初速度v0.

3.实验前，对器材进行调整的主要要求是：⑴斜槽末端的.⑵木板固定在实验中，小球应从斜槽上同一高度由静止滚下，其目的是

4.在“研究平抛物体的运动”的实验中：

⑴实验前对器材的调整要求主要是什么?用什么进行调整?⑵验证实验得到的轨迹是否准确的一般方法是什么?

考点16圆周运动

△考纲要求△本考点内容匀速圆周运动、线速度和角速度、周期及圆周运动的向心加速度、向心力都属于Ⅱ类要求.☆考点透视☆一、圆周运动几个重要概念1.线速度v

①方向：就是圆弧上该点的切线方向②大小：v=s/t(s是t时间内通过的弧长)③物理意义：描述质点沿圆弧运动的快慢2.角速度ω

①方向：中学阶段不研究

②大小：ω=φ/t国际单位是rad/s

③物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢

3.周期T：质点沿圆周运动一周所用时间，国际单位是s.4.频率f：质点单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈，国际单位是Hz.

5.v、f的关系：

T=1/f，f=1/T，ω=2π/T=2πf，v=2πr/T=2πrf，v=ωr，ω=v/r

注意：T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了，但v还和r有关.

6.向心加速度

①方向：总是指向圆心，时刻在变化②大小：a=v2/r=ω2r=(2π/T)2r=(2πf)2r③物理意义：描述线速度改变的快慢

注意：a与r是成正比还是成反比?若ω相同则a与r成正比，若v相同，则a与r成反比；若是r相同，则a与ω2成正比，与v2成正比.7.向心力

①方向：总是指向圆心，时刻在变化(F是-个变力)②大小：F=ma=mv2/r=mrω2=m(2π/T)2r=m(2πf)2r

③作用：产生向心加速度度，只改变速度方向，不改变速率

④向心力是按力的作用效果命名的，它并非独立于重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力以外的另一种力，而是这些力中的一个或几个的合力.

⑤动力学表达式：将牛顿第二

定律F=ma用于匀速圆周运动，即得F=mv2/r=mrω2=mωv=m(2π/T)2r=m(2πf)2r

二、匀速圆周运动的实例分析1.锥摆：锥摆的受力情况，如图A-4-16-1所示.F向=mgtanθ

F向=mv2/r=mv2/Lsinθ所以

道。

当v＞v0，即Mv2/r＞Mgtanθ时火车车轮挤压外轨，外轨作用于车轮的力的水平分量与Mgtanθ之和，提供向心力。

即Mgtanθ+F外水平=Mv2/r

当v＜v0，即Mv2/r＜Mgtanθ时，火车车轮挤压内轨，内轨作用于车轮的力的水平分量与Mgtanθ之差，提供向心力。

即Mgtanθ-F内水平=Mv2/r3.汽车过拱桥

汽车过拱桥的受力情况，如图A-4-16-3所示，汽车在竖直方向受到两个力的作用：重力mg和桥对汽车的支持力FN.Mg-FN=mv2/rFN=mg-mv2/r

汽车对桥的压力F’N=FN（方向相反）

由此看出这个压力小于

图A-4-16-3

汽车的重力mg.

三、离心运动

⑴定义：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐离圆心的运动.这种运动叫做离心运动.

⑵本质：离心现象是物体惯性的表现.

作圆周运动的质点，当它受到的沿着半径指向圆心的合外力突然变为零时，它就因为没有向心力而沿切线方向飞出.

⑶离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动.

⑷离心运动并不是受到什么离心力作用的结果，根本就没有离心力这种力，因为没有任何物体提供这种力.它不象向心力，向心力尽管也是从效果方向命名的，但它总可以找到施力物体.因为向心力可以是某几个力的合力提供，也可以是某一个力或某一个力的分力提供，这些提供向心力的力是确实存在的.

四、圆周运动中的临界问题

1.如图A-4-16-4所示，没有物体支持的小球，在竖直平面作圆周运动通过最高点的情形

mg=mv2/R，v临界=gR.

注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件

应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力提供向心力，此时临界速度v临界≠gR.

⑵能过最高点条件：v≥v临界(当v＞v临界时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力).

⑶不能过最高点条件：v＜v临界(实际上球还未滑到最高点就脱离了轨道).

2.如图A-4-16-5所示的有物体支持的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的临界条件：v=0(有物体支持的小球不会脱落轨道，只要还有向前速度都能通过最高点)

图A-4-16-4

⑴临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用

vgLtansin

2rTvLcos2ggLtansin2Lsin图A-4-16-1

2.火车拐弯：火车拐弯的受力情况，如图A-4-16-2所示.

FNcosθ=Mg

FNsinθ=F向

所以F向=Mgtanθ

当Mgtanθ=Mv20/r，火车拐弯时，既不挤压内轨道又不挤压外轨

图A-4-16-2

决胜高考物理

图A-4-16-5

3.如图A-4-16-5(a)的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：⑴当v=0时，FN=mg，(FN为支持力、方向背向圆心方向)

⑵当00.(FN为支持力)

⑶当v=gR时，FN=0.

⑷当v>gR时，FN随v增大而增大，且FN>0.(FN为拉力，方向指向圆心)

注意：若是图A-4-16-5(b)的小球，此时将脱离轨道作平抛运动，因为轨道对它不能产生拉力.◎命题趋势◎圆周运动是高考的热点，考查的方式有两种：一种是直接考查圆周运动的有关规律；一种是与万有引力和人造卫星的综合应用问题，尤其是后者，几乎近几年高考的必考内容.※典型例析※【例l】如图A-4-16-6为一皮带传动装置，右轮半径为r，a是它的边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r，小轮的半径是2r，b点在小轮上，到小轮的中心距

c点和d点分别位于离是r，

图A-4-16-6小轮和大轮的边缘上，若在

传动过程中，皮带不打滑，则（）

A．a点与d点的线速度大小相等B．a点与b点的角速度大小相等C．a点与c点的线速度大小相等

D．a点与d点的向心力加速度大小相等

【解析】皮带不打滑，知a、c两点线速度大小相等，知C正确，A错，由ω=v/r，知ωc/ωa=r/2r=1/2，即ωa=2ωc，而b、d与c同轴转动，故角速度相等，知B错，而a点向心加速度a1=ωa2r，d点向心加速度a2=ωc24r=ωa2r，二者相等，故D对，故选C、D。

【例2】一质量为m的金属小球用L长的细线拴起，固定在一点O，然后将线拉至水平，在

悬点O的正下方某处P钉一光滑钉

子，如图A-4-16-7所示，为使悬线从水平释放碰钉后小球仍做圆周运动，则OP的最小距离是多少？（g=10m/s2）

【解析】要使悬线碰钉后小球做圆周运动，即能使小球达到以P

图A-4-16-7点为圆心的圆周的最高点M，而刚

能到达最高点M的条件是到M点

小球所需向心力刚好由自身重力mg提供，此时悬线拉力为零，即有mg=mv2m/R，其中R为以P点为圆心的圆周的半径，vm为小球到达M点的最小速度，而根据机械能守恒定律有mg（L-2R）

=mv2m/2

联立解得R=2L/5即为小球以P点为圆心的最小半径，所以OP=L-R=3L/5为OP间的最小距离.

【例3】在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于()

vv2A．arcsinB．arctan

RgRgv212v2C．arcsinD．arccot

2RgRg【解析】车受重力mg及路面的

弹力FN作用，这两个力的合力，水平并指向圆周弯道的圆心，提供向心力，由图A-4-16-8可知F=mgtanθ，依据牛顿第二定律有mgtanθ=mv2/R，故θ=arctanv2/Rg.

【例4】如图A-4-16-9所示，A到OO’的距离为R，B到OO’的距离为2R，A、B用轻绳连接可沿CD杆滑动，已知mA=mB=m，杆CD对物

2图A-4-16-8

体A、B的最大静摩擦力均为

Fm，要保持A、B相对静止，

求装置绕OO′轴转动的最大角速度.

【解析】A、B分别绕同一点(OO’与AB的交点)做匀

速圆周运动，由于做匀速圆周

图A-4-16-9

运动的半径不一样，所需的向

心力不一样，当物体A、B将要滑动时，A、B两物体受的摩擦力都要达到最大静摩擦力，在此临界状态，物体仍在做匀速圆周运动.整个装置绕OO’轴转动时，B拉着A将要向右滑动时，角速度最大，此时，A、B除受竖直方向的重力和支持力外，水平方向均受到向左的最大静摩擦力Fm，设绳的拉力为F，则对A：F-Fm=mω2R①

对B：F+Fm=mω22R②②式一①式得2Fm=mω2R

则装置转动的最大角速度为：ω=

2FmmR.

【例5】绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长L=60cm，求：

⑴在最高点水不流出的最小速率?⑵水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力?

【解析】(1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力.即：mg≤mv02/R

则所求最小速v0=Rg=0.69.8=2.42m/s.

⑵当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有FN+mg=mv2/R，FN=mv2/R-mg=2.6N由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力FN’=FN=2.6N，

图A-4-16-10方向竖直向上

【例6】一个有一定厚度的圆盘，可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动，用下面的方法测量它匀速转动的角速度.

实验器材：电磁打点计时器，米尺，纸带，复写纸片.实验步骤：

⑴如图A-4-16-10所示，将电磁打点计时器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔后，固定在待测圆盘的侧面上，使得圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上.

⑵启动控制装置使圆盘转动，同时接通电源，打点计时器开始打点.

⑶经过一段时间，停止转动和打点，取下纸带，进行测量.①由已知量和测量量表示的角速度的表达式为

ω=.式中各量的意义是.②某次实验测得圆盘半径r=5.50×10-2m，得到的纸带的一段如图A-4-16-11所示，求得角速度为.

径达98m，世界排名第五，游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动，每转一周用时25min，每个箱轿共有6个座位.

⑴试判断下列说法中正确的是()A．每时每刻，每个人受到的合力都不等于零B．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动C．乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变D．乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变⑵观察图可以估算出“摩天转轮”座位总数为()A．324座B．336座C．378座D．408座

6.一种玩具的结构如图A-4-16-14所示，竖直放置的光滑铁圆环的半径为R=20cm，环上有一个穿

孔的小球m，仅能沿环做无摩擦滑动，

如果圆环绕着通过环心的竖直轴O1O2以10rad／s的角速度旋转，(g图A-4-16-14取10m／s2)则小球相对环静止时与环

心O的连线与O1O2的夹角θ可能是()

图A-4-16-11A．30°B．45°

x2x1C．60°D．75°

【解析】纸带移动速度vT(n1)，又v=ωr，因此xx7.一个小球在竖直环内至少作N次圆周运动，当它第(N-2)21。T为电磁打点计时器打点的时间间隔，r为圆盘的T(n1)r次经过环的最低点时，速度是7米／秒；第(N-1)次经过环的最半径，x1、x2是纸带上选定的两点分别对应的米尺上的刻度值，

低点时，速度是5米／秒，则小球在第N次经过环的最低点时

n为选定的两点间的打点数（含两点），代入数据得ω=6.8rad/s

的速度一定满足()

（6.75-6.84都对）

A．v＞1m/sB．v=1m/s

◇过关检测◇C．v＜1m/sD．v=3m/s

1.在地球上，赤道附近的物体A和北京附近的物体B，随地

8.试管中装了血液封住管口后，将此试管固定在转盘上，

球的自转而做匀速圆周运动.可以判断()

如图A-4-16-15所示，当转盘以一

A．物体A与物体B的向心力都指向地心

定角速度旋转时()B．物体A的线速度的大小小于物体B的线速度的大小

A．血液中密度大的物质将聚

C．物体A的角速度的大小大于物体B的角速度的大小

集在管的外侧

D．物体A的向心加速度的大小大于物体B的向心加速度

B．血液中密度大的物质将聚

的大小

集在管的内侧

2.下列关于离心现象的说法正确的是()

C．血液中密度大的物质将聚

A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象

集在管的中央B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，

图A-4-16-15D．血液中的各种物质仍均匀

它将做背离圆心的圆周运动

分布在管中

C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失

时它将沿切线做直线运动

D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失

时它将做曲线运动

3.一圆盘可绕通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动。

在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动(如图

图A-4-16-16

A-4-16-12)，则关于木块A的受力，

下列说法正确的是()

9.如图A-4-16-16所示，A、B是一段粗糙程度相同的凸凹

A．木块A受重力、支持力和

形路面，且A点与B点在同一水平面上，已知物体m以速度

向心力

v0从A滑到B时速度为v1，而以初速度v0从B滑到A时速度

B．木块A受重力、支持力和

为v2，则v1与v2的关系是()

静摩擦力，摩擦力的方向与木块运

A．vlv2

C．木块A受重力、支持力和

C．vl=v2

静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心

D．无法判定

D．木块A受重力、支持力和

10.如图A-4-16-17所示，线

静摩擦力，摩擦力的方向与木块运

段OA=2AB，A、B两球质量相

动方向相同

等，当它们绕O点在光滑的水平

5.图A-4-16-13所示是上海锦

桌面上以相同的角速度转动时，

江乐园新建的“摩天转轮”，它的直

两线段拉力之比为TAB：TOB为

61图A-4-16-17图A-4-16-决胜高考物理()

A．2∶3B．3∶2C．5∶3D．2∶1

11.飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径r=180m的圆周运动(如图A-4-16-18).如果飞行员的体重(质量)m=70kg，飞机经过最低点时P的速度v=360km／h.求这时飞行员对座位的压力.

14.为了连续改变反射光的方向，并多次重复这个过程，方法之一是旋转由许多反射镜面组成的多面体棱镜(简称镜鼓)，如图A-4-16-21所示.当激光束以固定方向入射到镜鼓的一个反射面上时，由于反射镜绕垂直轴旋转，反射光就可在屏幕上扫出一条水平线.依此，每块反射镜都将轮流扫描一次.如果要求扫描的范围θ=45°且每秒钟扫描48次，那么镜鼓的反射镜面数目和镜鼓旋转的转速分别为()

A．8，360转/分B．16，180转/分C．16，360转/分D．32，180转/分

图A-4-16-1812.如图A-4-16-19所

示，直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆筒.若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒

上留下a、b两个弹孔，已知aO、bO夹角为φ，求子弹的速度.。

图A-4-16-19

13.如图A-4-16-20所

示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物

体B相连，

B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩

擦力是正压力的μ倍，则转图A-4-16-20

盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动.

图A-4-16-

2.在赤道处，物体的万有引力分解的两个分力f向和mg刚好在一条直线上,则有F=f向+mg

所以，mg=F-f向=GMm/R2-mRw2自

⑴因地球自转角速度很小，GMm/R2＞mRw2自所以mg=GMm/R2，(一般情况下不考虑自转带来的影响，认为重力等于万有引力)

⑵假设地球自转加快，即mg=GMm/R2-mRw2自知物体的重

mg=0此时地球上物体无重力，力将变小.当mRw2自=GMm/R2时，

但是它要求地球自转的角速度w自=GM/R3，比现在地球自转角速度要大得多，同学们可以自己计算其数值.

五.万有引力定律在天文学上的应用

天体运动往往是一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动，运用万有引力定律解题实际上就是运用牛顿第二定律F=ma解题.其中F即GMm/R2或mg，a即向心加速度，其表达式可v2/r、rw2、vw或者4π2r/T2、m4π2f2r.应用万有引力定律解决天体问题的一个核心思想便是：天体做圆周运动时所需向心力由万有引力提供。

六、天体质量及密度的计算以地球质量的计算为例.

1.若已知地球的卫星(如月球)绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r，根据

Gm地m月/r2=m月r4π2/T2得m地=4π2r3/GT2ρ地=m地/V=3πr3/GT2R3

2.若已知地球的卫星(如月球)绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r，根据

Gm地m月/r2=m月v2/r得m地=rv2/G

ρ地=

考点17行星的运动万有引力定律

△考纲要求△万有引力定律属于Ⅱ类要求。☆考点透视☆一、开普勒对行星运动的描述1.开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的焦点上.

开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相同时间内扫过

的面积相等.(此定律不作要求)

2.开普勒第三定律：所有行星的轨道长半轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，即R3/T2=k.

3.开普勒第三定律虽然是根据行星绕太阳的运动总结出来的，但也适用于卫星、飞船绕行星的运动.

m1m2/r2二、万有引力定律：F=G

1.内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的.两个物体间的引力的大小，跟它们质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比.

2.公式：F=Gm1m2/r2，式中G=6.67×10-11Nm2／kg2，称为万有引力常量，是宇宙普适恒量.它在数值上等于两个质量都是1的物体相距1m时相互吸引力的大小，G值十分微小，表明通常情况下，一般物体之间的万有引力非常小，但在质量巨大的天体之间，万有引力具有可观的数值.

3.适用条件：公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.两个质量分布均匀的球体间万有引力可用公式求解，式中r即两球心间距离；一个均匀球体与球外一质点间的万有引力亦可用上式求解，r即质点到球心的距离.对于不均匀或不对称的物体，可用“挖补法”求解万有引力.

4.万有引力常数的测定：常数G是由卡文迪许采用巧妙的扭秤实验而测定，为万有引力定律的实际应用起到实质性作用.

三、应用万有引力定律时的等量关系

应用万有引力定律解决天体(包括自然天体和人造天体)运动的有关问题，主要基于以下等量关系：

Gm1m2/r2=(mg)=ma=mv2/r

=mrw2=mvw=m4π2r/T2=m4π2f2r

四、万有引力与重力

1.重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面.的物体随地球自转时需要向心力

重力实际上是万有引力的一个分力.另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力.如图A-4-17-1所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F也不断变化，因而地球表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力

加速度g随纬度变化而变化，从

图A-4-17-1赤道到两极逐渐增大.通常的计

算中因重力和万有引力相差不

大，而认为两者相等.即mg=GMm/r2，g=GM/r2常用来计算星球表面重力加速度的大小.在地球的同一纬度上，g随物体离地面高度的增大而减小，因为物体所受引力随物体离地面高度的增加而减小g′=GM/(r+h)2

g=GM/r2和g′=GM/(r+h)2不仅适用于地球也适用于注意：

其他星球.

m地4R/33=3V2r/4GπR3

3.若已知地球半径R和地球表面的重力加速度g，根据mg=Gm地m/R2得m地=gR2/Gρ地=m地/V=3g/4πGR

“GM=gR2”通常称为黄金代换式，在解题时经常用到.◎命题趋势◎万有引力与天体运动结合在一起是高考的热点之一，注意牛顿第二定律和圆周运动的知识在这里的应用.※典型例析※【例1】（201*年高考全国卷）把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。由火星和地球绕太阳的周期之比可求得

A．火星和地球的质量之比B.火星和太阳的质量之比

C.火星和地球到太阳的距离之比D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比

【思路】本题涉及的是天体运动的知识，因此需用有关天体运动的有关规律来分析。

【解析】依开普勒第三定律R3T2k和万有引力定律

在天文学中的应用（F万=F向），可知天体运动快慢只与中心天体的质量和距离有关，与行星的质量无关。而圆周运动的周期和线速度是相对应的，它们成反比关系。

【答案】C、D

【例2】如图A-4-17-2所示，在距一质量为m0、半径为R、密度均匀的大球体R处有一质量为m的质点，此时大

图A-4-17-2

决胜高考物理

球对质点的万有引力为F1，当从大球体中挖去一半径为R/2的小球体后，剩下的部分对质点m的万有引力为F2，求F1：F2.

【解析】根据万有引力定律，大球体对质点m的万有引力为F1=Gm0m／（2R）2

挖去的小球体对质点m的万有引力为F′=Gm’0m／（3R/2）2

根据密度公式ρ=m/V，挖去的小球体质量

M’0=ρ4π（R/2）3/3=

2.设地球的质量为M，赤道半径为R，自转周期为T.则地球赤道上质量为m的物体所受重力的大小为(式中G为万有引力常量)()

A．GMm/R2

B．(GMm/R2)2(42mR/T2)2

C．GmM/R2-4π2mR/T2D．GmM/R2+4π2mR/T2

3.为了估算一个天体的质量，需要知道绕该天体做匀速圆周运动的另一小星球的条件是()

A．质量和运转周期B．运转周期和轨道半径C．轨道半径和质量D．环绕速度和质量

4.假设“神舟”五号实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r，则计算其运行周期的公式①T=(t2-t1)/n②T=(t1-t2)/n③T=2πr/v④T=2πv/r可用()

A．①③B．①④C．②③D．②④

5.“神舟”五号的飞行可看成近地运行.杨利伟的质量为65千克，他在运行过程中的向心力可估算为×102牛。

6.已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G.用以上各量表示地球质量M=。

7.已知地球半径约为6.4×106m，又知月球绕地球的运动可

近似看做匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为m.(结果只保留一位有效数字)

8.科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上.从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”.由以上信息我们可以推知

A．这颗行星的公转周期与地球相等()B．这颗行星的自转周期与地球相等C．这颗行星质量等于地球的质量D．这颗行星的密度等于地球的密度

9.由于地球自转地球表面上各点均做匀速圆周运动，所以A．地球表面各处具有相同大小的线速度()B．地球表面各处具有相同大小的角速度C．地球表面各处具有相同的向心加速度

D．地球表面各处的向心加速度方向都指向地球球心

10.一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g1，行星的质量M与卫星的质量m之比M／m=81，行星的半径R1与卫星的半径R2之比R1/R2=3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R行之比r/R=60设卫星表面的重力加速度为g2，则在卫星表面有GMm/r2=mg2。经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的三千六百分之一.上述结果是否正确?若正确，列式证明；若错误，求出正确结果.

m04π（R/2）3/3=m0/834R/3则F’=Gm0m/18R2

大球体剩余部分对质点m的万有引力F2为

F2=F1-F’=Gm0m/（2R）2-Gm0m/18R2=7Gm0m/36R2则F1/F2=9/7【例3】飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T.如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图A-4-17-3所示.如果地球半径为RO，求飞船由A点到B点所需

图A-4-17-3要的时间.

【解析】依开普勒第三定律

知，飞船绕地球做圆周运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长轴的三次方跟周期平方的比值.飞船椭圆轨道的半长轴为(R+R0)/2，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T’，则有R3/T2=(R+R0)3/8T’2

而飞船从A点到B点所需的时间为t=T’/2=(R+R0)T

(RR0)/2R/4R

【例4】据美联社201*年10月7日报道，天文学家在太阳系的9大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年.若把它和地球绕太阳公转的轨道都看作圆，问它与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍.(最后结果可用根式表示)

【解析】设太阳的质量为M，地球的质量为m0，绕太阳公转的周期为T0，与太阳的距离为RO，公转角速度为ω0，新行星的质量为m，绕太阳公转的周期为T，与太阳的距离为R，公转角速度为ω.根据万有引力定律和牛顿定律，得

GMm/R2=mω2RGMm0/R20=m0ω20R0又T=2π/ω，T0=2π/ω0得R/R0=（T/T0）2/3已知T=288年，T0=1年

得R/R0=44（或32882）

【例4】201*年10月15日，我国自行设计并建造的“神舟”5号宇宙飞船在“长征”二号F型大推力火箭的运载下，顺利地将中国第一个“太空人”杨利伟送入外层空间轨道，从而实现了中华民族千百年来的飞天梦想.“神五”运行在地球低轨道上，杨利伟能否仅用一只手表测出地球的平均密度?

【解析】飞船在近地轨道运行，可粗略认为r=R，飞船所需

M=4向心力由万有引力提供，故π2R3/GT2232M4R/GT=3π/GT2即只要测出飞船绕行平均密度3V4R/3地球一周所需时间T，代入上式即可.◇过关检测◇1.有两个大小一样，同种材料组成的均匀球体紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若用上述材料制成两个半径更小的靠在一起的均匀球体，它们间的万有引力将()

A．等于FB．小于FC．大于FD．无法比较

11.假定宇航员乘坐宇宙飞船到某行星考察，当宇宙飞船在靠近该星球表面空间做匀速圆周运动时，测得环绕周期为T，当飞船降落在该星球表面时，用弹簧秤称得质量为m的砝码受重力为F，试根据以上数据求得该行星的质量.

12.1976年10月，剑桥大学研究生贝尔偶尔发现一个奇怪的射电源，它每隔1.337s发出一个脉冲讯号.贝尔和他的导师曾认为他们和外星文明接上了头，后来大家认识到，事情没有这么浪漫，这类天体被定名为“脉冲星”，“脉冲星”的特点是脉冲周期短，且周期高度稳定，这意味着脉冲星一定进行着准确的周期运动，自转就是一种很准确的周期运动.

(1)已知蟹状星云的中心星PSO531是一颗脉冲星，其周期为0.331s.PSO531的脉冲现象来自自转，设阻止该星离心瓦解的力是万有引力，估计PSO531的最小密度.

⑵如果PSO531的质量等于太阳质量，该星的可能半径最大

是多少?(太阳质量是M=10kg)

13.宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球.经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G.求该星球的质量M.

14.“黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围的物质(包括光子)有极强的吸引力.根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时也

被吸入.最多恰能绕黑洞表面做圆周运动，根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该可能黑洞6.0×1012m远的星体正以2.0×106m/s的速度绕它旋转，据此估算该可能黑洞的最大半径是多少?(保留一位有效数字)决胜高考物理

②第二宇宙速度(脱离速度)：v2=11.2km/s使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.

③第三宇宙速度(逃逸速度)：v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.

⑵对第一宇宙速度的理解和推导

①由于在人造地球卫星发射的过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造地球卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此时发射时动能全部作为绕行的动能而不需要转化为重力势能.

②根据①论述可推导如下，

由GMm/R2=mv2/R得v=GM/R=7.9km/s

或mg=mv2/R得v=gR==7.9km/s.

可用此法推导出其他天体的第一宇宙速度.

③v=7.9km/s是最小发射速度，但却是最大的运行速度.当v射=7.9km/s时，近地表面运行，v运=7.9km/s.

当7.9km/s＜v射＜11.2km/s时，离地较远轨道运行，v运＜7.9km/s.

五、卫星的变轨运动

由于某种原因或需要，卫星做不稳定的变轨运动，对于这种变轨动态运行问题，要注意此时万有引力不再刚好提供向心力，万有引力将对天体做功，解题时须从重力或其他力做功和能量转化的角度去分析，一般可用向心和离心运动的条件入手.◎命题趋势◎1.卫星问题与现代科技结合密切，同时也是对学生进行爱国主义教育的素材，出应用型试题，结合实际，结合其他学科知识，是近几年高考的一大趋势，重现率极高，为必考内容.

2.题型多以选择题、论述题出现，切入点有两个：①对天体的定轨分析，重点在关系式的应用；②对天体的变轨分析，与动量、能量守恒结合，综合难度较大.※典型例析※【例1】宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，可以采取的措施是()

A．只能从较低轨道上加速B．只能从较高轨道上加速

C．只能从同空间同一高度轨道上加速D．无论在什么轨道上，只要加速都行

【解析】飞船如从同一轨道上加速追赶，则运行轨道半径会因其离心运动而变大，不可能对接；同理，从较高轨道上加速，亦会使轨道半径更大，不可对接；如从较低轨道上加速，飞船一面增大轨道半径与空间站接近，一面又降低运行速度，可与空间站相对静止，选A．

【例2】可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道()

A．与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的

D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的

【解析】万有引力完全用于提供人造地球卫星绕地球圆周运动的向心力，A选项的情景中，万有引力在某一纬度面内的一个分力提供向心力，万有引力的另一分力会使卫星轨道离开该纬度平面；B选项的情景万有引力全部提供了卫星圆周运动的向心力，使其轨道平面相对地心、两极固定下来，但由于地球不停地自转，轨道平面不会固定于某一经线决定的平面，选项A、B错，赤道轨道上卫星受的万有引力全部提供向心力.除通信卫星采用“地球静止轨道”外，赤道轨道上的其他卫星都相对地球是运动的，选项C、D正确.

【例题2】某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，

考点18人造卫星宇宙速度

△考纲要求△人造卫星的运动属于Ⅱ类要求，宇宙速度属于Ⅰ类要求.☆考点透视☆一.人造卫星的轨道问题

任何人造卫星均是做绕地球的曲线运动，而曲线运动必定是变速运动.任何变速运动又都必定有不为零的外力去改变其运动状态，人造卫星绕地球运行而不逃离地球，地球对其的吸引力是唯一束缚力，因此，任何卫星在正常的运行时，其轨道平面必定经过地心.否则，卫星便会在地球的引力作用下，离开原先的轨道平面，发生“漂移”，失去稳定，最终坠毁.

如图4-18-1所示三种卫星轨道a、b、c中，只有b、c轨道才有可能使卫星长期稳定运行，而a轨道上的卫星会在地球吸引

力指向赤道的分量的拉动下，发

生向赤道的移动，失去稳定，或为“流星”.当然，卫星的轨道在形状上可以不同，有圆、椭圆之分；卫星的公转方向和自旋方向也可不同.轨道平面只要经过地心，可以与地轴成任意角度.

二、卫星运行时几项重要参

图4-18-1量

⑴线速度：由GMm/r2=mv2/r得v=GM/r，故r越大，v越小.地球卫星的最大速度vm==7.9km/s

⑵角速度：由GMm/r2=mr2，得=GM/r3，故r越大越小.

⑶周期：由GMm/r2=mr42/T2，得T=42r3/GM，故r越大T越大.

v=gr，注意：也可以说重力提供向心力，因而mg=mv2/r，

由此能否说r越大，v越大呢?不能，因为g值随轨道半径的增大而增大，并非定值.地球卫星的最小周期为

T=42r3/GM=42R/g≈84min.此时卫星在地球表面运行，认为轨道半径r等于地球半径R.以上各量与卫星自身质量均无关系.

三、同步卫星(通信卫星)

地球同步卫星是指相对于地面静止的、运行周期与地球的自转周期(T=24h)相等的卫星，这种卫星一般用于通信，又叫做同步通信卫星.同步卫星是本考点的一个重要问题，也是近年来高考的热点，其特点可概括为“五个一定”.

⑴位置一定(必须位于地球赤道上空)⑵周期一定(T=24h)⑶高度一定(h≈3.6×104km)⑷速率一定(v≈3.1km／s)

⑸运行方向一定(自西向东运行)地球同步卫星只能分布在赤道正上方的一条轨道上.从理论上讲，为了使卫星间不互相干扰，大约3°左右才能放置一颗卫星，地球的同步通信卫星的位置有120个，但对于某个国家或地区而言，有许多位置是无效的，可利用的空间轨道资源是极其有限的.同步卫星必须自西向东运行，才可以与地球保持相对静止，故发射阶段，火箭在合适之时应朝东输送，以便利用地球自转动能，节省火箭燃料.

四、宇宙速度⑴三种宇宙速度

①第一宇宙速度(环绕速度)：v1=7.9km/s，是人造地球卫星的最小发射速度.

绕地球运转的轨道会慢慢改变.每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2，r1＞r2，以Ek1.Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1.T2表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则()

A．Ek2Ek1，T2Ek1，T2>T1

【解析】由F=GMm/r2=mr4π2/T2知r减小时T亦减小；由Ek=mv2/2，及GMm/r2=mv2/r知卫星在轨道上运行的动能Ek=GMm/2r有Ek2>Ek1，但在降低轨道高度时，重力做正功，阻力做负功，故总机械能应是不断减少的，选项C正确。

【例3】1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于201*年3月23日坠落在南太平洋.“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章.

“和平号”空间站总质量137t(吨)，工作容积超过400m3，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称.在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确坠落在预定海域，这在人类历史上还是第一次.“和平号”空间站正常运行时，距离地面的平均高度大约为350km.为保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制.在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道.此时“和平号”距离地面的高度大约为240km.在“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7km.

设“和平号”空间站在正常运转时沿高度为350km圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240km的指定圆形低空轨道运行.而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以做为匀速圆周运动处理.

⑴简要说明，为什么空间站在沿圆轨道正常运行过程中，其运动速率是不变的.

⑵空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大?(计算结果保留两位有效数字)

⑶空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大?计算中取地球半径R=6.4×103km.(计算结果保留一位有效数字.)

【解析】⑴空间站沿圆轨道运行过程中，仅受万有引力作用，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功，因此空间站沿圆轨道运行过空轨道运行过程中，其运动速率是不变.

⑵不论空间站沿正常轨道运行还是沿指定的轨道运行，都是万有引力恰好提供空间站运行时需要的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有GMm/r2=ma空间站运行时向心加速度是a=GM/r2.空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值是

a1/a2=r22/r21=（350+6400/240+6400）2=0.9842=0.97⑶Mm/r2=mr4万有引力提供空间站运行时的向心力，有F=G

π2/T2.不计地球自转的影响，根据GMm/R2=mg，有GM=R2g则空间站在指定的低空轨道空间运行的周期为

T=2rr/GM=2rr/gR2=5.3×103S

果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径跟椭圆轨道的半长轴相等，那么，卫星沿圆轨道运动的周期跟卫星沿椭圆轨道运动的周期相同.请你由上述数据估算这些“锁眼”系列侦察卫星绕地球运动的周期.(计算结果保留两位有效数字.地球的半径为R=6400km，取g=10m/s2)

【解析】卫星绕地球做匀速圆周运动，半径r=(265+650+6400×2)/2=6857.8km，GMm/r2=mr4π2/T2①

物体在地球表面的重力等于万有引力，则GMm0/R2=m0g②解得：T==5.6×103s

【例5】已知以下信息：

A．本题中的已知量为：地球半径为R，地球表面的重力加速度为g；

B．如果以无穷远处为零势能面，则距地心为r，质量为m

G为引力常量）的物体势能为Ep=-GMm/r（其中M为地球质量，

利用上述信息解答以下问题：

⑴某卫星质量为m，距地心距离为2R，绕地球做匀速圆周运动，求其速率v0=？

⑵在⑴中所述卫星向后弹出质量为（7-43）m的物体后，围绕地球改做椭圆运动，已知弹射出的物体在原来轨道上做反方向的匀速圆周运动，求卫星弹射出物体后的瞬时速度v1=？

⑶若上述卫星在远地点距地心距离为4R，并且卫星沿椭圆轨道运动的机械能守恒，求卫星在远地点时的速度v2=？

⑷试推导出第二宇宙速度v（挣脱地球的吸引，所具有的最小发射速度）的表达式.

【解析】⑴对卫星，由牛顿第二定律及万有引力定律，GMm/（2R）2=mv02/2R①对在地球表面的物体m′有

GMm′/R2=m′g②

由①②联立得v0=

gR/2③

设一昼夜的时间为t，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为n=t/T=17,空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小

△h=2.7km/n=2.7km/17=0.2km.

【例4】9.11恐怖事件发生后，美国为了找到本拉登的藏身地点，使用了先进的侦察卫星.据报道：“美国将多颗最先进的A．0B．gKH-11、KH-12”锁眼”系列照相侦察卫星调集到中亚地区上空，

C．2hD．2(R+h)

“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球沿椭圆轨道运动，近地点265

3.201*年2月1日美国哥伦比亚号航天飞机在返回途中解km(指卫星与地面的最近距离)，远地点650km(指卫星距地面最

体，造成人类航天史上又一悲剧.若哥伦比亚号航天飞机是在赤远距离)，重量13.6t～18.2t.这些照相侦察卫星上装有先进的

道上空飞行，轨道半径为r，飞行方向与地球的自转方向相同.CCD数字照相机，能够分辨出地面上0.1m大小的目标，并自

设地球的自转角速度为0，地球半径为R，地球表面重力加速动地将照片传给地面接收站及指挥中心.由开普勒定律知道：如

⑵卫星弹射出物体后的质量

m1=m-（7-43）m④由动量守恒定律，得

mv0=m1v1+（7-43）m(-v0)⑤由③、④、⑤联立得v1=2Rg/3⑥⑶由近地点到远地点，由机械能守恒

m1v12/2-GMm1/2R=m1v22/2-GMm1/4R⑦联立②⑥⑦解出v2=gR/6⑧⑷物体从地面到无穷远，由机械能守恒定律得

mv2/2-GMm/R=0联立②、⑧解得v=2gR◇过关检测◇1.在地球(看作质量均匀分布的球体)上空有许多同步卫星，下面的说法中正确的是()

A．它们的质量可能不同B．它们的速度可能不同

C．它们的向心加速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同2.常用的通讯卫星是地球同步卫星，它定位于地球赤道正上方.已知某同步卫星离地面的高度为h，地球自转的角速度为，地球表面附近的重力加速度为gO，该同步卫星运动的加速度的大小为()决胜高考物理

度为g.在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，则到它下次通过该建筑上方所需时间为()

A．2/（gR2/r3-0）B．2（r3/gR2+1/0）C．2（r3/gR2-1/0）

D．22/（gR2/r3+0）

4.201*年12月7号，美国奋进号航天飞机与国际空间站对接，为空间站送去了新的太空探险队和两吨多的生活用品，以及各种新器件和科学实验设备，就在航天飞机完成任务将要返回地面时，地面控制中心通知宇航员，有一俄罗斯太空火箭载体的轨道与空间站的轨道有交点，并且在美国东部时间16日有可能与空间站相撞.为避免悲剧发生，航天飞机点燃火箭、机动火箭把空间站向上推高800m，设空间站升高后的轨道仍为圆形，则以下四种说法①空间站做圆运动的线速度增大；②空间站做圆运动的向心加速度减小；③空问站做圆运动的角速度减小；④16日火箭载体通过原来的轨道交点时，与空间站的距离一定为800m。其中正确的是()

A．①②B．①②③C．②③④D．②③

5.两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA/TB=1/8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为()

A．RA：RB=4：1，vA：vB=1：2B．RA：RB=4：1，vA：vB=2：1C．RA：RB=1：4，vA：vB=2：1D．RA：RB=1：4，vA：vB=1：2

6.地球同步卫星到地心的距离r可由r3=a2b2c/4π2求出.已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则()

A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度

B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度

C．a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度

D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度

7.据观察，在土星外围有一个模湖不清的圆环.为了判断该环是与土星相连的连续物，还是绕土星运转的小卫星群，又测出了环中各层的线速度v以及该层到土星中心的距离R，进而得出v与R的关系，下列判断正确的是()

A．若v与R成正比，则此环是连续物B．若v与R成正比，则此环是小卫星群C．若v2与R成正比，则此环是小卫星群D．若v2与R成反比，则此环是连续物

8.在1990年4月被“发现号”航天飞机送上太空的哈勃望远镜，已经在寂寞的太空度过了十多年，但哈勃望远镜仍然老当益壮，就在不久前，还在星系的黑暗中找到了宇宙中失踪的氢，一些科学家已经考虑给哈勃望远镜作大手术，以便这只太空中高明的眼睛再逢第二春.宇宙飞船要追上哈勃望远镜应该()

A．只能从较低轨道上加速B．只能从较高轨道上加速

C．只能在同望远镜同一高度轨道上加速D．无论什么轨道，只要加速都行

9.(201*年春季高考北京理综)神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342km的圆形轨道.已知地球半径R=6.37×103km，地面处的重力加速度g=10m/s2.试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式(用h、R、g表示)，然后计算周期T的数值(保留两位有效数字).

10.晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内.一个可看成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动.春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后8小时时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而看不到了.已知地球的半径R地=6.4×106m，地面上的重力加速度为10m/s2，估算：(答案要求精确到两位有效数字)

(1)卫星轨道离地面的高度；⑵卫星的速度大小.

11.已知物体从地球上的逃逸速度(第二宇宙速度)v2=2GM/R，其中G、M、R如分别是引力常量、地球的质量和地球半径。已知G=6.67×10-11Nm2/kg2，c=2.9979×108m/s.求下列问题：

⑴逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M/=1.98×1030kg，求它的可能最大半径(这个半径叫Schwarzchild半径)；

⑵在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大?

第四章曲线运动检测题

一、选择题：（每题3分，共36分）

1．物体在几个外力的作用下做匀速直线运动，如果撤掉其中的一个力，它不可能做（）

A．匀速直线运动

C．匀减速直线运动

B．匀加速直线运动D．曲线运动

（）

2．下列关于力和运动的说法中正确的是

A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动B．物体在变力作用下不可能做直线运动C．物体在变力作用下可能做曲线运动

D．物体在受力方向与它的速度方向不在一条直线上时，有可能做直线运动3．关于运动的分解，下列说法中正确的是

（）

A．初速度为v0的匀加速直线运动，可以分解为速度为v0的匀速直线运动和一个初速度为零的匀加速直线运动

B．沿斜面向下的匀加速直线运动，不能分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动这两个分运动

C．任何曲线运动都不可能分解为两个直线运动D．所有曲线运动都可以分解为两个直线运动

4．运动员掷出铅球，若不计空气阻力，下列对铅球运动性质的说法中正确的是（）

A．加速度的大小和方向均不变，是匀变速曲线运动B．加速度大小和方向均改变，是非匀变速曲线运动C．加速度大小不变，方向改变，是非匀变速曲线运动

D．若水平抛出是匀变速曲线运动，若斜向上抛出则不是匀变速曲线运动

决胜高考物理

5．小船在水速较小的河中横渡，并使船头始终垂直河岸航行，到达河中间时突然上游来水使水流速度加快，则对此小船渡河的说法正确的是

（）

A．小船要用更长的时间才能到达对岸B．小船到达对岸的时间不变，但位移将变大

C．因小船船头始终垂直河岸航行，故所用时间及位移都不会变化D．因船速与水速关系未知，故无法确定渡河时间及位移的变化

6．从高为h处以水平速度v0抛出一个物体，要使物体落地速度与水平地面的夹角最大，则h为下列的

（）

A．h=30m，v0=10m/sB．h=30m，v0=30m/sC．h=50m，v0=30m/s

D．h=50m，v0=10m/s7．雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是（）

①风速越大，雨滴下落时间越长②风速越大，雨滴着地时速度越大③雨滴下落时间与风速无关④雨滴着地速度与风速无关

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

8．如图1所示一架飞机水平地匀速飞行，飞机上每隔1s释放一个铁球，先后共释放4个，若不计空气阻力，则落地前四个铁球在空中的排列情况是（）

9．竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以0.1m/s的速度匀速上浮.现当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速向右运动，测得红蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图2所示。若玻璃管的长

度为1.0m，则可知玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的距

与v0的取值应

离为（）

A．0.1m/s，1.7mC．0.17m/s，1.7m

B．0.17m/s，1.0mD．0.1m/s，1.0m

10．在平面上运动的物体，其x方向分速度vx和y方向分速度vy随时间t变化的图线如图3中的（a）和（b）所示，则图4中最能反映物体运动轨迹的是

vx（）

11．一物体的运动规律是x=3t2m，y=4t2m，则下列说法中正确的是（）

①物体在x和y方向上都是做初速度为零的匀加速运动②物体的合运动是初速为零、加速度为5m/s2的匀加速直线运动

③物体的合运动是初速度为零、加速度为10m/s2的匀加速直线运动

④物体的合运动是做加速度为5m/s2的曲线运动A．①②B．①③C．②0

(b)图3tvy0(a)tD．④

12．如图5所示，正以速度v匀速行驶的车厢，突然改为加速度为a匀加速运动，则高为h的高架上的小球将落下，落地点距架子的水平距离为

（）

A．0B．

ahgC．

2hgD．v

2ha二、填空题：（每题4分，共20分）

13．如图6所示，MN为竖直屏幕，从O点一小球以某一速度水平抛出打在A点正下方B点，A点与O点在同一水平高度，在小球抛出后的运动过程中，若加竖直向下的平行光，则小球的影子在水平地面上的运动是运动；若加水平向左方向的平行光，则小球的影子在MN上的运动是运动；若在小球抛出的同时，在O点有一点光源，则小球的影子在AB之间的运动是运动。

14．船以4m/s的速度垂直河岸渡河，水流速度为5m/s，河宽为120m，则船到达对岸所用的时间为___________s，船登陆点离出发点的距离为___________m.

15．如图7中，将物体以10m/s的水平速度抛出,物体飞行一段时间后，垂直撞上倾角θ=30°的斜面，则物体在空中的飞行时间为___________（g=10m/s2）.

决胜高考物理

图6

船的速度为。

图7

16．如图8所示，在河岸上利用定滑轮拉绳使小船靠岸，拉绳速度为v，当船头绳长方向与水平方向夹角为θ时，

17．在“研究平抛物体运动”的实验中，可以测出小球经过曲线上任意位置的瞬时速度.实验简要步骤如下：

A．让小球多次从___________位置上滚下，记下小球穿过卡片孔的一系列位置.B．安装好器材，注意___________，记下斜槽末端O点和过O点的竖直线.C．测出曲线上某点的坐标x、y，用v=________算出该点的瞬时速度.

D．取下白纸，以O为原点，以竖直线为轴建立坐标系，用平滑曲线画平抛轨迹.(2)上述实验步骤的合理顺序是___________.三、计算题：（共44分）

18．排球场总长18m，网高2.25m，如图9所示.设对方飞来一球，刚好在3m线正上方被我方运动员后排强攻击回.假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动.（g取10m/s2）

（1）若击球的高度h=2.5m，球被击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？

（2）若运动员仍从3m线处起跳，起跳高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界，试求h满足的条件.

19．(9分)光滑水平面上，一个质量为0.5kg的物体从静止开始受水平力而运动.在前5s内受到一个正东方向、大小为1N的水平恒力作用，第5s末该力撤去，改为受一个正北方向、大小为0.5N的水平恒力，作用10s时间，问：

（1）该物体在前5s和后10s各做什么运动？（2）第15s末的速度大小及方向各是什么？

2.25m3m18mh

20．(9分)(201*年全国新课程卷)在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d.如战士在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为多少?

21．(9分)如图10所示，从倾角为θ的斜面顶点A将一小球以v0初速水平抛出，小球落在斜面上B点，求：

（1）AB的长度？

（2）小球落在B点时的速度为多少？

22．(9分)有一小船正在渡河，如图11所示，在离对岸30ｍ时，其下游40ｍ处有一危险水域.假若水流速度为5m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是多大?

图11

万有引力定律检测题

YCY一、选择题（每题3分，共36分）

1．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看做是均匀的球

体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动．则与开采前相比

（）

决胜高考物理

A．地球与月球的万有引力将变大B．地球与月球的万有引力将变小

C．月球绕地球运动的周期将变长D．月球绕地球运动的周期将变短

（）

2．宇宙飞船要与环绕地球运转的轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站

A．只能从较高轨道上加速

B．只能从较低轨道上加速

C．只能从与空间站同一轨道上加速D．无论在什么轨道，只要加速即可

3．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力

将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T．下列表达式中正确的是

A．T=2π

（）B．T=2π

R3GM3R3GMC．T=

GD．T=

3G4．人造地球卫星在环形轨道上绕地球运转，它的轨道半径、周期和环绕速度的关系是（）

A．半径越小，速度越小，周期越小

B．半径越小，速度越大，周期越小

C．半径越大，速度越大，周期越小D．半径越大，速度越小，周期越小近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，如图1所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2=3∶2，下列说法中正确的是

（）图1

5．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较

m2Om1A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶22

B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶

C．m1做圆周运动的半径为

2L5D．m2做圆周运动的半径为

2L5（）

6．关于第一宇宙速度，下面说法中正确的是

A．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度B．它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度C．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度D．它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度

图

7．发射同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运动，最后再次点火，将卫

星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图2所示，当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（）

A．卫星在轨道2上由Q向P运动的过程中速率越来越小B．卫星在轨道3上经过P点的速率大于在轨道2上经过P点的速率C．卫星在轨道2上经过Q点的半径小于在轨道2上经过P点的半径D．卫星在轨道2上经过Q点的加速度等于在轨道1上经过Q点的加速度

8．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速

度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2;地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则

A．F1=F2＞F3（）

A．它定点在北京正上方太空，所以我国可以利用它进行电视转播B．它的轨道平面一定与赤道平面重合

C．若要发射一颗质量为2.48t的地球同步通讯卫星，则该卫星的轨道半径将比“亚洲一号”卫星轨道半径大

D．要发射一颗质量为2.48t的地球同步卫星，则该卫星的轨道半径将比“亚洲一号”卫星轨道半径小

（）

A．它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值B．它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的C．它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值D．它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的

（）

B．a1=a2=g＞a3

C．v1=v2=v＞v3

（）

D．ω1=ω3＜ω2

9．我国发射的“亚洲一号”地球同步通信卫星的质量为1.24t，在某一确定的轨道上运行.下列说法中正确的是

10．同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星

11．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道

A．与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆

C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D．与地球表面上赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的

a2b2c12．地球同步卫星到地心的距离r可由r=求出.已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，24则

（）决胜高考物理

A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度C．a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度

D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度

二、填空题（每题5分，共25分）

13．一颗以华人物理学家“吴健雄”命名的小行星，半径约为16km，密度与地球相近.若在此小行星上发射一颗

绕其表面运行的人造卫星，它的发射速度约为___________.（已知地球的半径R=6.4×103km，取g=10m/s2）14．天文学家根据天文观测宣布了下列研究成果：银河系中可能存在一个大“黑洞”，接近“黑洞”的所有物质，

即使速度等于光速也被“黑洞”吸入，任何物体都无法离开“黑洞”.距离“黑洞”r=6.0×1012m的星体以v=2×106m/s的速度绕其旋转，则黑洞的质量为_______.引力常量G=6.67×10-11Nm2/kg2.

15．某物体在地球表面上受到的重力为160N；将它放置在卫星中，在卫星以加速度a=g/2随火箭加速上升的过

程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N，卫星此时距地面的高度为_______.（已知地球的半径R=6.4×103km，取g=10m/s2）

16．某恒星附近有一颗卫星，它绕该恒星做匀速圆周运动的周期是T，设万有引力常量为G，则该恒星的平均密

度为_______.

17．假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，恰观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫

星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6.6倍，则此人造地球卫星绕地球运行的周期为s（结果保留二位有效数字）。三、计算题（共39分）

18．（9分）同步通讯卫星是进行现代通讯的重要的工具，我们的国家在卫星的发射方面已取得了辉煌的成就，进入了世界航天大国的行列。下面是关于同步卫星的一些问题，请回答或进行讨论。

（1）同步通讯卫星的轨道有什么特点？

（2）同步通讯卫星的轨道离地球表面的距离约为多大？

19．（10分）两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b

卫星离地面高度为3R，则

（1）a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少?

（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远?

20．（10分）侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运动，它的运动轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的

时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T.

21．（10分）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们

对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离.一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理.

现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.

（1）试计算该双星系统的运动周期T计算；

（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算=1：N（N＞1）.为了解释T观测与T计算

的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质.作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质.若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.

第四章曲线运动万有引力定律

考点14运动的合成与分解平抛运动

1.D2.D3.A4.C5.BC6A7.C8.450，2kgm/s9.(1s)2h

s10.（1）小船在50s到达对岸下游100m处.

（2）船头与河岸成600角，斜向上游.57.7s到达对岸.解析：（1）小船垂直河岸渡河所用时间td200s50s

v14所以小船沿水流方向运动的位移s2v2t250m＝100m（2）设小船要到正对岸，船头应与河岸成θ角，斜向上游.则有

0v1cosv2，∴cosv221，60

v142

td200s57.7sv1sin34211.解析：（1）设抛出A球ts后绳子拉直，

A球运动0.8s时的速度为vAgt100.8m/s8m/s绳子拉直时有l(v0t)2(vAt)2，把数据代入解可得t1s（2）绳子被拉直时，A球的位移为sAv0t4.51m4.5m

决胜高考物理

B球的位移为sAv0(t0.8)4.5(10.8)m0.9m12.ABC

13.解析：（1）子弹运动的时间为t2h220s2s

g10子弹离开枪口的速度为vs100m/s50m/s

t2（2）能.因为子弹与小球在竖直方向的运动是一致的，即同时到达同一高度，只要在水平方向子弹的运动位移到达100m，就能击中.（3）能.原因同（2）.

击中处距离小球下落位置的水平位移为ss100m2.5m

v501014.(1)mg(12hv0)(2)．1mv02(14h)

22gl222l解析(1)（如图514－21）飞机水平方向速度不变，则lv0t，竖直方向上飞机加速度恒定，则有h1at2，

22解得a2hv0．据牛顿第二定律，Fmgmamg(12hv0)

222lgl(2)在h处竖直分速度v1at2gh2hv0，则动能

lEk1114h2222mv0mvtmv0(12)．222l图514－21

考点15实验：研究平抛物体的运动1.AB2.B

3.(1)切线水平（2）竖直平面内（3）每次飞出时小球的水平速度相同

4.（1）①木板竖直放置，可用重垂线进行调整②轨道末端切线水平.通常方法是将小球放在轨道末端，看其是否保持静止.

（2）在x轴上取到坐标原点的距离为x、2x、3x的点，再由轨迹线测出各点对应下降的高度是否满足1：4：9：5.2.2m/s

6.（1）利用栓在槽口处的重锤线作出Oy轴，使Ox轴与Oy轴垂直.

（2）每次飞出时小球的水平速度方向相同.将小球放在轨道末端，看其是否保持静止.（3）小球应从斜槽上同一高度由静止滚下，每次飞出时小球的水平速度相同（4）由y1gt2得t2y

2g所以，vxx2y1.6m/s

0tg7.作平抛运动的物体在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向作自由落体运动..8.10Hz，1.5m/s

2解析：由saT得闪光的周期为TyBCyAB2515102s0.1s

g10所以闪光的频率为f110Hz

2小球抛出的初速度为v0sAB1510m/s1.5m/s

T0.19.在轨迹上取三点，A、B、C，使A、B、C在方向水平方向的间隔相等，测出A、B与B、C间的竖直距离，依据saT2公式，求出T。再测出A、B间的水平距离sAB，则物体平抛的初速度为v0sAB.

考点16圆周运动

1.D2.C3.C4C(5.1)A(2)C6.C7.A8.A9.B10.A11.4.57×103N

解析：飞行员受重力mg、座位的压力N，由向心力公式可得

v2代入数据解得N4.57103N

Nmgmr12.v＝d

－φ解析：由题意可知，圆筒转过的角度为（π－φ），用的时间为tφ

子弹的速度为vdd

t－φ13.

ggrgg

r解析：A随盘转动时，A受到的摩擦力、绳子的拉力的合力提供向心力，所以转速较大时有mgmgmr2∴gg

r转速较小时有mgmgmr2∴gg

r综上所述gggg

rr14.B

考点17行星的运动万有引力定律

1D2.C3.B4.A5.6.56.gR7.4.11088.A9.B10.答案错误.

G2解析：式中g卫并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度.正确解法：在卫星表面GRm2卫m在行星表面G＝g行2R行＝g卫

R2mg卫，代入数据解得g＝∴卫0.16g行（行）R卫Mg行3411.MFT

3416Gm决胜高考物理

解析：由万有引力定律得

GMm2mR()2①2TR又GMmF②2R34FT①②联立求解可得M16Gm3412.1.31012kg/m3，R5.68105m解析：（1）由万有引力提供向心力得GMmmR(2)2

2RT又M,

43R3所以

M43R3333.14kg/m31.31012kg/m32342GT6.63100.331（2）由万有引力提供向心力得GMmmR(2)22RT2R3GMT5.68105m

42213.M23LR

23Gt解析：设该星球上的加速度为g

以v0抛出时，L(v0t)2(1gt2)2①

2以2v0抛出时，3L(2v0t)2(1gt2)2②

2①②联立解得g23L

3t2在星球表面万有引力近似等于重力，GMmmg2R22所以MgR23LR

G3Gt214.r3108m

解析：黑洞做为一种特殊天体一直受到广泛的关注，种种迹象表明它确实存在于人的视野之外。由于黑洞的特殊性，所以当分析本题的时候，一定要抓住其。“黑”的原因，即光子也逃不出它的引力约束。光子绕黑洞做圆周运动时，它的轨道半径就是黑洞的最大可能半径。

根据爱因斯坦理论，光子有质量，所以黑洞对光子的引力就等于它圆周运动时的向心力，则GMmmcG①2rr

其中M为黑洞质量，m为光子质量，c为光速，r为轨道半径，即黑洞的最大可能半径。

银河系中的星体绕黑洞旋转时，也可认为做的是匀速圆周运动，其向心力为二者之间的万有引力，所以有：

Mmv2G2mRR②

其中m/为星体质量，R为星体的轨道半径，由①②式可得黑洞的可能最大半径为：

rv221062R()61012m3108m28c310

考点18人造卫星宇宙速度

1.A2.D3.A4.D5.C6.D7.AC8.B9.AC10.A

211.T2(rh)，T5.4103s

2Rg解析：设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆周规定半径为r，由万有引力和牛顿第二定律，有

Mmv2G2mrrT2rvmg，

人造卫θ地球太阳光地面附近GMmR2已知条件rRh

以上各式联立求解得T2(rh)2

2Rg代入数据，得T5.4103s11.（1）h6.4106km（2）v5.66106m/s

解析：（1）根据题意画出日落8小时后示意图如右图所示，由于地球的自转周期为24小时，可知θ＝1200，由几何知识可得，

人造卫星的规定半径为r2R1.28107km人造卫星离地面高度的为h6.4106km由万有引力提供向心力得

Mmv2G2mrr又在地面附近GMmmg

2R∴代入数据解得v5.66106m/s12.R7.131026m

解析：（1）天体的逃逸速度为v2GM＞c

2R1130∴黑洞的可能半径为R＜2GM26.67101.98102.94103m

282c(2.997910)所以黑洞的最大半径为R2.94103m

（2）整个宇宙的逃逸速度为v2GM＞c①

决胜高考物理

又M②

43R3①②联立求解并代入数据得宇宙的半径至少为R7.131026m

第四章曲线运动检测题答案

1、A2、C3、A4、A5、B6、D7、B8、B9、B10、C11、C12、B

13、匀速直线、自由落体、匀速直线14、30；192.115、3s16、v/cosθ

gx22gy(2)BADC18、17、（1）A.同一B.让斜槽末端切线水平C.(1)13.42ym/s＜v≤17m/s(2)h＜2.4m

19、（1）前5s做匀加速直线运动，后做匀变速曲线运动.（2）偏北45°

20、解：战士要在最短时间内将人送上岸，必须驾驶摩托艇正对水沿江向下以v1速度运动，所以摩托艇相对岸参与两种运动.根据识，摩托艇实际上沿着v合方向匀速运动，如图所示.假设摩托艇登距离为s，由几何图形可求得tanθ=

Ov2θA

v合v1Pd102m/s，东

岸

着岸开.由于洪运动的合成知陆地离O点的

v1sdv，所以s=1.v2dv221、解：（1）设AB=L，将小球运动的位移分解，如图所示.

由图得：Lcosθ=v0tv0ttanθ=

2vtan12

gt解得：t=02gL=

2v0tan（2）B点速度分解如右图所示.

gcos22vy=gt=2v0tanθ所以vB=v0vy=v0124tan2tanα=2tanθ，即方向与v0成角α=arctan2tanθ.

22、解:设小船到达危险水域前，恰好到达对岸，则其合位移方向如图所示，设合位移方向与河岸的夹角为α，则tan303，即α＝37°，小船的合速度方向与合位404移方向相同，根据平行四边形定则知，当船相对于静水的速度v1垂直于合速度时，v1最小，由图可知，v1的最小值为v1minv2sin53m/s3m/s，这时v1的方向482

与河岸的夹角β＝90°－α＝53°.即从现在开始，小船头指向与上游成53°角，以相对于静水的速度3m/s航行，在

到达危险水域前恰好到达对岸。

万有引力定律检测题

题号答案1BD2B3AD4B5C6BC7ABD8D9B10D11BCD12AD13．20m/s14．3.6×103515．19.2×103km16．3π/GT217．1.4×104

18．(1)同步卫星的轨道平面必须与地球的赤道平面重合，这是同步卫星运动实现的必要的条件，同步卫星发射后并不是直接进入同步轨道的，而是要先进入近地的停泊轨道，再进入转移轨道，最后经过一系列的调整进入同步轨道。同步卫星的轨道平面虽然要与地球的赤道的平面重合，但发射并不一定要在赤道上发射。（2）万有引力提供向心力，可得

mMG

(Rh)24=m

T223(R+h)整理后得h=

GMT24232-R代入数据，得h=3.6104km

19．（1）由卫星运动规律知:Ta∶Tb＝Ra∶Rb＝1∶2

322

0.5TaTb0.77Ta

TbTa（2）Ta＜Tb，当二者相距最远时，即a比b多转半圈，即

ttTaTb＝0.5解得t＝

20．侦察卫星绕地球做匀速圆周运动的周期设为T1，则

GMm42rm2①地面处的重力加速度为2rT1g，则

GMm0R2=m0g

2②由上述两式得到卫星的周期T1=

Rr3g其中r=h+R

地球自转的周期为T，在卫星绕行一周时，地球自转转过的角度为θ=2π

T1T

摄像机应拍摄赤道圆周的弧长为s=Rθ

42得s=

T(hR)3g

21．（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v，得mvGm2①v=Gm②

22LLL222T计算=

L2v=πL

2L③Gm决胜高考物理

（2）根据观测结果，星体的运动周期T观测=

1NT计算＜T计算④

这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O处的质点的作用相同.考虑暗物质作用后双星的速度即为观察如图3，则有

v观测LGm2mmL2G⑤

(L)222vG(m4m)观测=

2L⑥

因为在周长一定时，周期和速度成反比，由④式得

11v1观测N

v⑦把②⑥式代入⑦式得m′=

N14m设所求暗物质的密度为ρ

，则有4L3N13(2)4m

故ρ=3(N1)m2L3.

到的速度v观测，

图

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