高考三角函数公式全面总结与典型题目应用

高考三角函数公式全面总结与典型题目应用

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一、基本公式：

1、同角三角函数的基本关系式：sintan

coscoscotsin

cos1cot1cscsin1sectan222222sincos1sectan1csccot1

2、诱导公式：把k的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”

2

4、三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一公式组二公式组三

sinxsin(2kx)sinxsinx()sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)coxscosx22x=cosxsecx=11+tanx=secxtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式组四公式组五公式组六sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot(2x)cotxcot(x)cotx角与角之间的互换

公式组一公式组二cos()coscossinsinsin22sincoscos()coscossinsincos2cos2sin22cos2112sin2tan2sin()sincoscossinsin()sincoscossinsin

2tan1ta2n1cos2

2tan()tantan1coscos

1tantan22tantan1cossin1costan21cos1cossin1tantantan()公式组三公式组四公式组五2tansin21tan21tan2cos1tan22221sinsin2

1cossinsinsin21coscoscoscos2cossinsinsin2221sinsincoscos2coscos2coscossincos221cos()sin21sin()cos21tan()cot21cos()sin

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2tantan2

coscos2sinsinsin2sin22sincos221tan221tan()cot21sin()cos2sin15cos75624

sin75cos1562tan15cot7523.tan75cot15234

3、图像的平移对函数y＝Asin(ωx＋)＋k(A＞0,0,≠0,k≠0),．．．．ω．＞．．．．．．．．．．．

(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短．(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长．

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(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．＞0,左移；＜0，右移．(4)上下平移(纵向平移变换):是由k的变化引起的．k＞0,上移；k＜0,下移

两角和与差的三角函数关系

sin()=sincoscossin

cos()=coscossinsin

和差化积公式tantantan()1tantan积化和差公式半角公式sin1[sin(+)+sin(-)]21cossin=[sin(+)-sin(-)]21coscos=[cos(+)+cos(-)]21sinsin=-[cos(+)-cos(-)]2sincos=21cos2，cos21cos2tan2sin1cos1cos=sin1cos1cos升幂公式1+cos=2cos1-cos=2sin1±sin=(sin1=sin2222222cos2)2

22sinsin-sin=2cos22coscos+cos=2cos22

sincos-cos=-2sin2212

tan+cot=sincossin2tan-cot=-2cot21+cos=2cos1-cos=2sin1±sin=(sin22sin+sin=2sincossin=2sin降幂公式+cos2cos21cos221cos22cos2sin2sin2+cos2=11sin22sincos=222cos2)2三倍角公式：sin33sin4sin；cos34cos3cos；

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扩展阅读：高考三角函数公式全面总结与典型题目应用

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高中数学第四章-三角函数

一、基本公式：

1、同角三角函数的基本关系式：sintan

coscoscotsin

cos1cot1cscsin1sectan

222222sincos1sectan1csccot12、诱导公式：

把k的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”2

4、三角函数的公式：

（一）基本关系

公式组二公式组三sinxsin(2kx)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos2k(x)coxscosx2

x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan2k(x)tanxsinxco2tk(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式组一sinx()sinxcos(x)coxs

tan(x)tanxcot(x)coxt

公式组四公式组五公式组六sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)coxs

tan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot(2x)cotxcot(x)coxt

（二）角与角之间的互换

公式组一公式组二cos()coscossinsinsin22sincos

cos()coscossinsincos2cos2sin22cos2112sin2

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sin()sincoscossintan2sin()sincoscossinsin2tan1tan2

21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22tantan1cossin1costan21cos1cossin1tantantan()

公式组三公式组四公式组五2tansinsin15cos7562421tan21tan2cos1tan22221sinsin2

1cossinsinsin21coscoscoscos21sinsincoscos2sincos1cos()sin21sin()cos22tantan1tan

22sinsin2sinsinsin2cos2cos1tan()cot21cos()sin22tan(1)cot22sin22coscos2cos2cos21sin()cos2coscos2sin6242sin2sin75cos15,

tan15cot7523,.tan75cot1523

高中数学苏教版必修4

注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，

13）；（8，15，17）；

四、三角函数图像和性质

1．周期函数定义

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定义对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

请你判断下列函数的周期

ysinxycosxy|cosx|ycos|x|y|sinx|y=tanxy=tan|x|y=|tanx|ysin|x|

例求函数f(x)=3sin(不大于1

注意理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常

函数f(x)＝c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正

周期．

kx)(k0)的周期。并求最小的正整数k,使他的周期53xR，那么函数f(x)的周期结论：如函数f(xk)f(xk)对于任意的xR，那么函数f(x)的对T=2k;如函数f(xk)f(kx)对于任意的称轴是x2．图像

(xk)(kx)k

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3、图像的平移

对函数y＝Asin(ωx＋)＋k(A＞0,0,≠0,k≠0),其图象的基本变换有：．．．．ω．＞．．．．．．．．．．．(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短．(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长．(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．＞0,左移；＜0，右移．(4)上下平移(纵向平移变换):是由k的变化引起的．k＞0,上移；k＜0,下移

四、三角函数公式：

倍角公式sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2tan22tan1tan

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两角和与差的三角函数关系和差化积公式积化和差公式sincoscoscossinsin()=sincossinsincos()=costan()tantan1tantan半角公式1[sin(+)+sin(-)]21cossin=[sin(+)-sin(-)]21coscos=[cos(+)+cos(-)]21sinsin=-[cos(+)-cos(-)]2=sin21cos2，cos21cos2tan21cos1cossin=sin1cos1cos升幂公式1+cos=2cos2222sinsin-sin=2cos22coscos+cos=2cos22sincos-cos=-2sin2212tan+cot=sincossin2tan-cot=-2cot221+cos=2cossin+sin=2sincos1-cos=2sin1±sin=(sin1=sin22222cos2)2+cos2cossin=2sin降幂公式21cos221cos2cos22sin22sin2+cos2=1121-cos=2sinsin33sin三倍角公式：224sin；cos33sinsincos34cos=3cos2；cos1±sin=(sin五、三角恒等变换：22)2三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角

与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的

差异，使问题获解，对角的变形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是

2的二倍；

2是

4的二倍；3是

3的

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二倍；

3是

6的二倍；

22是

o4的二倍。

30o②1545306045；问：sin；

122oooocos12；

③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例

如常数“1”的代换变形有：

1sincossectantancotsin90tan45

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处

理的方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，2222oos常用升幂化为有理式，常用升幂公式有时需要升幂，如对无理式1co有：；；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：

1tan1tan___________；_______________；

1tan1tantantan____________；1tantan___________；tantan____________；1tantan___________；

2tan；1tan2；

tan20otan40o3tan20otan40o；

sincos=；asinbcos=；

；（其中tan）

1cos；1cos；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

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基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理

化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：sin50o(13tan10o)；tancot；coscos24cos；

99935coscoscos；推广：

777246coscoscos；推广：

777

1.3三角函数的诱导公式

班级姓名

学习目标：

1、利用单位圆探究得到诱导公式五，六，并且概括得到诱导公式的特点。2、理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想。3、能初步运用诱导公式进行求值与化简。教学重点：

诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值与化简，提高对单位圆与三角函数关系的认识。教学难点：

诱导公式的灵活应用教学过程：

一、复习：1．复习诱导公式一、二、三、四；

2．对“函数名不变，符号看象限”的理解。

二、新课：

1、如图,设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),由于角终边关于直线y=x对称,角

-α的终边与角α的2-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称,因此点2P2的坐标是(y,x),于是,我们有sinα=y,cosα=x,cos(-α)=y,sin(-α)=x.

22从而得到诱导公式五:

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-α)=sinα,2sin(-α)=cosα.2cos(

2、提出问题

能否用已有公式得出

3、诱导公式六

+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式?2+α)=cosα,2cos(+α)=-sinα.2Sin(4、用语言概括一下公式五、六：

±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原2函数值的符号.简记为“:函数名改变,符号看象限.”

作用：利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.5、提出问题

学了六组诱导公式后,能否进一步用语言归纳概括诱导公式的特点？（奇变偶不变,符号看象限.）6、示例应用

例1将下列三角函数转化为锐角三角函数。

（1）sin

331(2)cos10021′(3)sin(4)tan32432′5

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例2、证明(1)sin(

33-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.22变式练习求cos2(

)cos2()的值。4411sin(2a)cos(a)cos(a)cos(a)22例3化简.

9cos(a)sin(3a)sin(a)sin(a)2

cos()2sin(2)cos(2)变式练习化简1、（1）

5sin()2

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tan(3600)（2）cos()

sin()2

2、已知sinα是方程5x-7x-6=0的根,且α为第三象限角,

2

sin(a求

33)sin(a)tan2(2a)tan(a)22的值.

cos(a)cos(a)22

三、小结

应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：

1用“”公式化为正角的三角函数；

2用“2k+”公式化为[0，2]角的三角函数；3用“±”或“四、作业：习题1.3B组第1题

±α”公式化为锐角的三角函数2五、探究

1、习题1.3B组第2题

12、已知sin，sin()1,求sin(2)

3

三角函数的图象与性质

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一．【课标要求】

1．能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像，了解三角函数的周期性；

2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质

（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；

3．结合具体实例，了解y=Asin（wx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin

（wx+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响.

二．【命题走向】

近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.

预测201*年高考对本讲内容的考察为：

1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；

2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin（wx+φ）的图象及其变换；

三．【要点精讲】

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y--2-32-2o3222523724xy=cosx-4-72-5-321-1o2322523724xyyy=tanxy=cotx-32--2o232x--2o2322x2．三角函数的单调区间：

ysinx的递增区间是2k，2k(kZ)，

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递减区间是2k2，2k3(kZ)；2ycosx的递增区间是2k，2k(kZ)，

递减区间是2k，2k(kZ)，

ytanx的递增区间是k，k(kZ)，

22（其中A0，0）3．函数yAsin(x)B最大值是AB，最小值是BA，周期是T初相是；其图象的对称轴是直线xk22，频率是f，相位是x，2(kZ)，凡是该图象与直线yB的

交点都是该图象的对称中心.

4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的

横坐标变为原来的

1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象.

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的向右(＜0＝平移

1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或

||5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。．．

6．对称轴与对称中心：

，ysinx的对称轴为xk2，对称中心为(k,0)kZ；

ycosx的对称轴为xk，对称中心为(k2,0)；

对于yAsin(x)和yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最

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值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负.利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法.

9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：

五点取法是设x=ωx+，由x取0、再描点作图。

π3π、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，22四．【典例解析】

题型1：三角函数的图象

例1．（201*浙江理）已知a是实数，则函数f(x)1asinax的图象不可能是()．．．

解析对于振幅大于1时，三角函数的周期为T求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2．答案：D

2,a1,T2，而D不符合要a例2．（201*辽宁理，8）已知函数f(x)=Acos(x)的图象如图所示，f()22，则3f(0)=（）

A.2211B.C.-D.3322答案C

题型2：三角函数图象的变换

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1π例3．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象.

331π解析：y=sin（2x+）

331π2倍横坐标扩大为原来的ysin（x）纵坐标不变33π图象向右平移个单位13ysinx纵坐标不变33倍纵坐标扩大到原来的ysinx横坐标不变另法答案：

1ππ1（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；

336311（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的

33图象；

1（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到

3y=sinx的图象。

例4．(201*山东卷理)将函数ysin2x的图象向左平移所得图象的函数解析式是().

个单位,再向上平移1个单位,4A.ycos2xB.y2cos2xC.y1sin(2x解析将函数ysin2x的图象向左平移

4)D.y2sin2x个单位,得到函数ysin2(x)即

44ysin(2x2)cos2x的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为

y1cos2x2cos2x,故选B.

答案:B

【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.

7.(201*山东卷文)将函数ysin2x的图象向左平移象的函数解析式是().

个单位,再向上平移1个单位,所得图422A.y2cosxB.y2sinxC.y1sin(2x4)D.ycos2x解析将函数ysin2x的图象向左平移

个单位,得到函数ysin2(x)即

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ysin(2x2)cos2x的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为

y1cos2x2cos2x,故选A.

答案:A

【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.

题型3：三角函数图象的应用

例5．已知电流I与时间t的关系式为IAsin(t)。（１）右图是IAsin(t)（ω＞0，||2）

在一个周期内的图象，根据图中数据求IAsin(t)的解析式；

I300（２）如果t在任意一段

1秒的时间内，电流150-1900o1180tIAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正

-300整数值是多少？

解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．

（１）由图可知A＝300。设t1＝－

11，t2＝，900180则周期T＝2（t2－t1）＝2（∴ω＝

111＋）＝。180900752＝150π。T11又当t＝时，I＝0，即sin（150π＋）＝0，

180180而||2，∴＝

。6故所求的解析式为I300sin(150t（２）依题意，周期T≤

6)。

121，即≤，（ω>0）150150∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，

故最小正整数ω＝943。

点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径.

图

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例6．（1）（201*辽宁卷理）已知函数f(x)=Acos(x)的图象如图所示，f()22，3则f(0)=()A.2211B.C.－D.3322

2π解析由图象可得最小正周期为3于是f(0)＝f(

2π2ππ7π

),注意到与关于对称33212

2ππ2所以f()＝－f()＝

323答案B

（2）（201*宁夏海南卷理）已知函数y=sin（x+）（>0,-

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（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。

ππ，2kπ+），k∈Z}。22点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.

故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－

6cos4x5cos2x1例8．已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，

cos2x并求其值域.

解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+

2，解得x≠

k，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x|x24∈R且x≠

k，k∈Z}，24因为f（x）的定义域关于原点对称，

6cos4(x)5cos2(x)16cos4x5cos2x1且f（－x）==f（x）。cos(2x)cos2x所以f（x）是偶函数。又当x≠

k（k∈Z）时，246cos4x5cos2x1(2cos2x1)(3cos2x1)3cos2x1。f（x）=

cos2xcos2x11所以f（x）的值域为{y|－1≤y

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3π9π≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；88π2xπ3π由2kπ+≤－≤2kπ+。

23423kπ－

9π21π≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。

883π9π∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，

883kπ+

递增区间为［3kπ+（2）y=－|sin（x+kπ+

9π21π，3kπ+］（k∈Z）。

88ππ3ππ）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，4444π］。4-5434-4-yo4345474x

sinx

例10．（201*京皖春文，9）函数y=2的单调增区间是（）A．［2kπ－

，2kπ＋22］（k∈Z）

B．［2kπ＋

3，2kπ＋22］（k∈Z）

C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）

D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）

xsinx

解析：A；函数y=2为增函数，因此求函数y=2的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间.

题型6：三角函数的奇偶性

例11．判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+1sin2x）。

分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（－x）的关系。解析：定义域为R，又f（x）+f（－x）=lg1=0，即f（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数。

点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。例12．（201*上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；③存在，使f（x）是奇函数；

④对任意的，f（x）都不是偶函数。

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其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，

2+kπ（k∈Z）；或者④，

2+kπ（k∈Z）

解析：当=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1）π，k∈Z时f（x）=－sinx仍是奇函数。当=2kπ+

2，k∈Z时，f（x）=cosx，或当=2kπ－

2，k∈Z时，

f（x）=－cosx，f（x）都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。

点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分.

题型7：三角函数的周期性

例13．求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值。分析：将原函数化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解.

解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）

323522

=1－3sinxcosx=1－sin2x=cos4x+。

488∴T=

π。2kπ（k∈Z）时，ymax=1。2当cos4x=1，即x=

例14．设f(x)asinxbcosx(0)的周期T，最大值f(（1）求、a、b的值；

12)4，

（2）若、、为方程f(x)0的两根，、、终边不共线，求tan()的值。

解析：(1)f(x)a2b2sin(x)，T，2，

又f(x)的最大值。

f(12)4，4a2b2①，且4asin22bcos②，1212由①、②解出a=2,b=3.

(2)f(x)2sin2x23cos2x4sin(2x4sin(23)，f()f()0，

3)4sin(23)，

232k23，或232k(23)，

即k(、共线，故舍去)，或k6，

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tan()tan(k6)3(kZ)。3点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的

周期性。

题型8：三角函数的最值

例15．（201*安徽卷文）设函数则导数A.

的取值范围是B.

2，其中，

x1C.D.

解析f(1)sinx3cosxsin3cos2sin()

325，选D0,sin(),1f(1)2,21232

例16．（201*江西卷理）若函数f(x)(13tanx)cosx，0x值为

A．1B．2C．31D．32答案：B

解析因为f(x)(13tanx)cosx=cosx3sinx=2cos(x当x

2，则f(x)的最大

3)3

五．【思维总结】

是，函数取得最大值为2.故选B

1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的.

2．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域.

3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。

4．求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。5．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。

6．函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。

7．判断y=－Asin（ωx+）（ω＞0）的单调区间，只需求y=Asin（ωx+）的相反区间即可，一般常用数形结合.而求y=Asin（－ωx+）（－ω＜0＝单调区间时，则需要先将x的系数变为正的，再设法求之.

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4.6正弦型三角函数练习

姓名：_________________班级：________________

1.把函数y2sin(2x的

4)的图象向右平移

,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来81,则所得图象的解析式是()23)B.y2sin(4x)C.y2sin4xD.y2sinxA.y2sin(4x88

2.已知函数yAsin(在一个周期内,当xx)(A0,0)当x12时,取得最大值2,

7时,取得最小值2,那么()121A.ysin(x)B.y2sin(2x)C.y2sin(2x)D.

2336xy2sin()

26

3.将函数yf(x)cosx的图象上平移1个单位,得到的图象再向右平移到y2sin2x的图象,那么函数f(x)可以是()A.

个单位,最后得4cosxB.2cosxC.sinxD.2sinx

3个单位,或向左平移个单

884.把函数ysin(x)(其中为锐角)的图象向右平移

位,都可使对应的新函数成为奇函数,则原函数的一条对称轴方程是()A.x

5.函数y2sin的周期是______,函数y2|six的周期是______,函数x3n32

B.x

4

C.x8D.x581y2|sixn3的|2周期是______,函数y2|sin3x2|的周期是______.

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6.f(x)是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T,则f(

7.函数f(x)sinxsin(x

8、若函数f(x)asin(x

9、如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间。（1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；（2）点P第一次到达最高点大约需要多少时间？

T)的值为______.24)的单调递减区间为______________________.

对实数a之值为______.)3sin(x)的图象关于y轴对称，

44x)((0,10.已知函数f(x)3sin(2函数f(x)的解析式.

11.已知函数f(x)4sinxsin(22)),其图象向左平移

后关于y轴对称.求出6x)cos2x.

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(1)求函数yf(32x)的单调递增区间；

(2)若f(x)acos2x对于xR恒成立,求实数a的取值范围.

第28课时：第四章三角函数同角三角函数的基本关系式及诱导公式一．课题：同角三角函数的基本关系与诱导公式

二．教学目标：掌握同角三角函数的基本关系式及诱导公式；并能运用这些公式

进行求值、化简与证明．三．教学重点：公式的恰当选用及利用公式时符号的正确选取．四．教学过程：（一）主要知识：

1．同角三角函数的基本关系式：（1）倒数关系：tancot1；

sincos,cot（2）商数关系：tan；cossin（3）平方关系：sin2cos21．

2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．

（二）主要方法：

1．利用同角三角函数的基本关系式时要细心观察题目的特征，注意公式的合理选用，特别要注意开方时的符号选取，切割化弦是常用的方法；

2．学会利用方程的思想解三角题，对于sincos,sincos,sincos三个式子中，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值．（三）例题分析：

sintan例1．化简tan(cossin)

cotcsc分析：切割化弦是解本题的出发点．

sinsinsin(cossin)cossin．解：原式cos1cossinsin例2．化简（1）sin()cos()；

44311)的值．（2）已知2,cos(9)，求cot(52解：（1）原式sin()cos[()]sin()sin()0．

4244433（2）cos()cos(9)，∴cos，

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4sin4，tan，5cos31134∴cot()cot()tan．

223cossin例3．（1）若tan2，求值①；②2sin2sincoscos2．

cossin∵2，∴sin1sin6xcos6x（2）求值．

1sin4xcos4xsincos12322．解：（1）①原式sin121cos11②∵cos2，21tan31∴原式cos2(2tan2tan1)21．3（2）∵sin6xcos6x(sin2xcos2x)(sin4xsin2xcos2xcos4x)

(sin2xcos2x)23sin2xcos2x13sin2xcos2x．

又∵sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x12sin2xcos2x．

1sin6xcos6x3．∴原式441sinxcosx2例4．已知sin,cos是方程4x24mx2m10的两个根，

32，求角2．

sincosm2m1解：∵sincos，代入(sincos)212sincos，

4216(m2m1)0得m32m1132，∴sincos0，，又242313312，,cos，又∵，∴sin2222sincosm

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5．6（四）巩固练习：

∴1．若f(cosx)cos2x，f(sin15)（D）

(A)1133(B)(C)(D)2222132．已知sincos(0)，则tan．

54五．课后作业：

一：三角函数线：

yyyMPr1xxcosxOM有向线段MP,OM,AT,BS分别称作

r1yMPATtanAT角的正弦线,余弦线,正切线,余切线

xOMOAxOMBSBScotS2S1ByMPOBP11．sinP2oAT2T1π），试证明：sinα＜α＜tanα.2证明：如下图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P点.例1：设α∈（0，

yPOMATx∵S△OPA＜S扇形OPA＜S△OAT，111∴|MP|＜α＜|AT|.∴sinα＜α＜tanα.222例2：求函数ylog211的定义域。sinx(2k,2k6][2k5,2k)

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二：点坐标和三角比的关系

1.角α的终边过点P（－8m，－6cos60°）

4且cosα=－，则m的值是___________。

58m4解：P（－8m，－3），cosα==－.

564m2911或m=－（舍去）.22二：角的象限判定？

∴m=

例1：已知是第三象限角且cos20，问

是第几象限角？2(kZ)

解：∵(2k1)(2k1)∴k则

222k3(kZ)4是第二或第四象限角2又∵cos0则是第二或第三象限角

22∴必为第二象限角2(可用图分析判断例2：.已知sin

34，cos=－，那么α的终边在

5252A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D.第四象限

247解析：sinα=2sincos=－＜0，cosα=cos2－sin2=＞0，

22252225∴α终边在第四象限.

(需要算两个三角比来确定象限)

三：如何确定角的象限。（象限角不包括坐标轴）

（1）若sin0，

则角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴（2）若tan0，

则角的终边可能位于第一或第三象限

四：三角比值范围：1sin1;1cos1；

=

2，3的范围)A2B2AsinBcosA2B2

42mm3,cos,例1．已知m5m5是第四象限角，sin2

求m的值。

解：∵sin+cos=1∴(2

42m2m32)()1m5m5化简，整理得：

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m(m8)0

辅助角公式

m10,(与是第四象限角不合）m28

例2．若cosxcosy1，则cos(xy)。1

asinbcosa2b2sin(arctgba)acosbsinabcos(arctg)ba22

例1．已知函数f(x)=asinx+bcosx(x∈R),且f()=2,

4f(x)的最大值是10，求a,b的值。

例2．使方程2sinx5cosx(C)

A．(,0)(0,)B．R

1有解的实数m的取值范围是m111,]333五：sinAcos与tanA的互化应用（弦化切割）例1：已知sin2cos，

sin4cos及sin22sincos的值。求

5sin2cossin4costan421解：sin2costan25sin2cos5tan2126C．(,][,)D．[13sin22sincostan22tan426sin2sincos222415sincostan12

强调（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式2“化1法”

2sincos5，求3cos2+4sin2的值。

sin3cos2sincos5∴cos0(否则2=5)解：∵

sin3cos2tan15解之得：tan=2∴

tan33(1tan2)42tan3(122)4227∴原式222251tan1tan1212例2：已知

例3：已知sin(+)=,sin()=求

2325tantan的值

解：∵sin(+)=∴sincos+cossin=①

223322sin()=∴sincoscossin=②

558tansincos15=

2tancossin4

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①+②：sincos=8

15①②：cossin=2

15sincos转化应用。六：sincos与sincos、3，求tancot及sincos的值。313解：将sincos两边平方，得：sincos

33125；tancot3(sincos)212sincos1

sincos33例：已知sincossincos153

七：关于开方的化简例1：1sin440

22解：原式1sin(36080)1sin802cos280cos80

例2：已知是第三象限角，化简解：原式1sin1sin

1sin1sin(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)

(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)2(1sin)21sin1sin|cos||cos|1sin21sin2是第三象限角，cos01sin1sin原式2tan（注意象限、符号）

coscos八：“平方的化简及转化应用”例1、已知

asecctand,bsecdtanc,求证：a2b2c2d2

asecctand(1)证：由题设：

bsecdtanc(2)22(1)2(2)2：(a2b2)sec(c2d2)tanc2d2

(a2b2)sec2(c2d2)sec2

a2b2c2d2xsincos(1)例2、消去式子中的：

ytancot(2)

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(1)：x212sincossincosx2：由12(3)

由(2)：ysincoscossin1sincossincos1y(4)

将(3)代入(4)：y2x21（平方消去法）

例3、若sinxsiny22，则cosxcosy的取值范围为_______________。令

cosxcosytt212(sinxsiny)2(cosxcosy)222cos(xy)4t2714142t[2,2]

九：倍角公式与诱导公式的综合应用例1．已知cos(4x)3575，且4x4，求sin2x2sin2x1tanx的值．

解：由cos(4x)35，得sin2xcos[2(4x)]

[2cos2(4x)1]725,x(57574,4)，2x(2,2)

由sin2x724sin2x2cos2x12825，得cos2x25．∴原式．11cos2x75sin2x例2.已知sin(x334)5,，4x4,则cos2x的值是.2425；

九：函数应用

例1：若关于x的方程2cos2

(+x)sinx+a=0有实根，求实数a的取值范围。

解：原方程变形为：2cos2xsinx+a=0即22sin2xsinx+a=0

∴a2sin2xsinx22(sinx124)178∵1≤sinx≤1

∴当sinx1时，a174min8；当sinx1时，amax1∴a的取值范围是[178,1]，

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例2：在ABC中，已知ABC，acosB，bcosA，csinC．（1）求ABC的外接圆半径R和角C的值；（2）求abc的取值范围．（1）由正弦定理，

cosBcosAsinC12R1，∴R，sin2Asin2B．sinAsinBsinC2∵ABC，∴2A2B，即AB2．∴C2．

4（2）∵abcsinAcosA12sinA1，A0,，∴abc2,21．

4

例3：求函数yasinxacosxaR的最值。

ya2asinxcosxsinxcosx

t21设sinxcosxt，于是yata2，t2,2，aR，

22a21当0a2，ta即sinxcosxa时ymin，t2，即

22sixncoxs2时ymaxa2a1；

22当a2时，t2，即sinxcosx2时ymina2a1；t2，即

22sinxcosx2时ymaxa2a1。

2

十：常用形式转换：

1tan（1）tan(a)；

1tan41tantan(a)1tan4（2）tantantan(a)(1tantan)

（3）

1sin1sin=

sin|cos|（4）1sin|sin（5）tancot2cos2|

12

sincossin2sin2xcos2x2cos2x（6）tgxctgx

sinxcosxsin2x

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sin)1cossin222cot222（7）21cossin2sin(sincos)2sin22sincos2222221sin40cos40cos80（8）cos20cos40cos80=sin20cos20cos40cos802sin20sin201*sin160sin80cos801848sin20sin202cos22sincos2cos(cos

三角恒等式的角的变换名称的变换：

角的变换：不同角化为相同角；已知角转化为结论所需角。名称变换：弦化切割；切割化弦。

例1.已知：tg224tg2，求证：tgtg23sin。

53cos6tg2∵tg24tg,∴tg23tg1tg23sin22,又，故22233tg53cos14tg14tg1tg2tg22252221tg2tg23tg2命题得证。例2.已知tg例3.设

2,tg3,求cos的值

11,(1cos2)(1cos2)，则tgtg的值为2312cos2()cos2()_________。

由

cos2()cos2()4coscossinsin1；3；

(1cos2)(1cos2)4cos2cos2两式相除得tgtg例

4.若

3.2433，且cos(),sin()2,，则

5522cos2=________。

=_______________。

34,cos()，∴cos2cos[()()]1，55332,，∴2又，结合cos21，故2，。22222由已知，sin()

先化简在求值

cos3xcosx例1.已知4sinx－6sinx－cosx＋3cosx＝0，x∈(0,),求的值。

1ctgx22

2

解：∵4sin2x－6sinx－cos2x＋3cosx＝0，∴(2sinx＋cosx)(2sinx－cosx)－3(2sinx－cosx)＝0,

(2sinx－cosx)(2sinx＋cosx－3)＝0,∵2sinx＋cosx－3≠0,

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2525cos3xcosx∴2sinx＝cosx,ctgx＝2,cosx＝,∴＝.

5251ctgx三角形形状判定

例1.已知sinAcosB，则△ABC是（）

（A）直角三角形或钝角三角形；（B）等腰三角形；

（C）等边三角形；（D）等腰或直角三角形例2．在ABC中，根据下列条件，判断三角形的形状：

(1)已知acosBbcosA，则ABC为______________________.

(2)已知cosA:cosBb:a，则ABC为________________________________.（3）已知

a2b2(1)等腰三角形(2)等腰三角形或直角三角形（3）等腰或直角三角形。

tgA，则ABC是______________。.tgB大边对大角与sinA0的两解性

例1．(1)在ABC中,已知a80,b100,A30，这样的三角形可能有________个.2

(2)在ABC中,已知a100,b80,A30，这样的三角形可能有________个.1

(3)在ABC中,已知a40,b100,A30，这样的三角形可能有________个.0

BB105，tgctg．

22313AB求：（1）cosAB的值；（2）cos的值．

2例2．在ABC中，cosA512BB103，得sinA，由tgctg，得sinB，13132235312456sinBsinAbaBAcosBcosAB而．

513565（1）由cosAB、C的对边分别是a、b、c，且sinB例3．ABC中，角A、a:b:c________________．2:1:3或1:1:3

锐角三角形的充要条件。

31，sinC，则

22例1．已知锐角三角形ABC中，sin(AB),sin(AB).

（1）求tan(AB),（2）求证：tanA2tanB；（3）设AB=3，求AB边上的高.

35153AB，sin(AB),2531（2）证明：sin(AB),sin(AB),

55（1）解：3tan(AB),

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3sinAcosBcosAsinB,sinAcosB51sinAcosBcosAsinB.cosAsinB5所以tanA2tanB.

（3）解：tan(AB)理得

2tan2B4tanB10.解得tanB2,5tanA2.1tanB53tanAtanB3,即，将tanA2tanB代入上式并整41tanAtanB42626，舍去负值得tanB，22tanA2tanB26.设AB边上的高为CD.

则AB=AD+DB=

CDCD3CD.tanAtanB26由AB=3，得CD=26.所以AB边上的高等于26.

锐角三角形

例1．已知k1、k2、k3为钝角三角形的三条边，且此三角形的最大角不超过120，

则实数k的取值范围是_______________．[,2)

边角互化

1、在△ABC中，求证：sin212Asin2Bsin2C2cosAsinBsinC

1．已知函数f(x)loga(aax)，(a0且a1)，（1）

求f(x)的定义域和值域；（2）讨论f(x)的单调性；（3）解方程

f(x22)f1(x)。

（2）（1）a1时，DA(,1)；0a1时，DA(1,)。

（2）a1时，f(x)在(,1)上递减；0a1时，f(x)在(1,)上递减。（3）f1(x)loga(aax)，f(x22)f1(x)loga(aax22)loga(aax)x2x20。

a1时，x1（x2舍去）；0a1时，x2（x1舍去）。

2．已知函数f(x)log2(x1)，并且g(x)值。

解：∵g(x)1f(3x)，求函数p(x)g(x)f(x)的最大211f(3x)，∴g(x)log2(3x1)，

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213113x112139p(x)log2(3x1)log2(x1)log2log2log22，22222x12x148(x1)(x1)413∴当x1，即x时，p(x)maxlog23。

3323．已知函数f(x)loga(x21x),(a1)

1（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的反函数f围．

（3）求使得f(x)2的x的取值范(x)；

解：（1）由x21x0，得x1，∴D(,1]．（2）设yloga(x1x)，得f21axax(x)(x0)．

2（3）f(x)2，即loga(x21x)logaa2,∵a1，∴x21xa2，

xa2xa201a41a41a42222由x1(ax)，得x．∵a1，∴x(,1]．2222a2a2ax1x1别解：

f(x)2等价于当f1(x)中的自变量x2时，求f1(x)的范围。易知f1(x)在[0,2)上单调递减，∴f

4224．设s1，t1，mR，xlogstlogts，ylog4stlogtsm(logstlogts)。（1）将y表示成x的函数yf(x)，并求出定义域；

1(2)f1(x)f1a2a21a4f1(x)1，即f(x)2中的x((0),1]。22a2（2）若关于x的方程f(x)0有唯一的实数根，求m的取值范围。

224422解：（1）∵xlogstlogts，∴log2stlogtsx2，logstlogts(x2)2，

∴y(x22)22m(x22)x4(m4)x2m2，x[2,)。

（2）令x2t4，则关于x的方程f(x)0等价于关于t的方程g(t)t2(m4)t2m20在g(4)0[4,)内有唯一解。∵m280，∴只要g(4)0或4m即可，解得m1。

42

a23a22a26a422xlog25．若函数yxlog2的值恒小于零，求实数a的取值

a20a20范围。

220．令log2a23a2a20t，原不等式等价于ytx222xt10恒成立，

14t0t0a23a2a23a2t2，即log220∴a20a2084t(t1)0t2或t1，

3(a1)(a2)(a20)020a1或a2a(,1)(2,4)。(a4)(4a3)a20或3a4404a

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