二次函数知识点总结[1]

二次函数知识点总结[1]

二次函数知识点

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函数，叫做二次函数。这b，c是常数，a0）里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

⑴顶点式yaxhk，“左加右减，上加下减”．方法二：

⑴yaxbxc:向上平移m个单位，

22yax2bxc变成yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yaxbxc向左（右）平移m个单位----，yaxbxc变成

22ya(xm)2b(xm)c

五、二次函数yax2bxc图象的画法

七、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.三种形式可以互化.

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称

2yaxbx关于cx轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

222.关于y轴对称

2bx关于cy轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；yaxyaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

223.关于原点对称

2bx关于原点对称后，得到的解析式是cyax2bxc；yax1

kyaxhk；yaxh关于原点对称后，得到的解析式是

224.关于顶点对称-----先变顶点式

yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

225.关于点m，n对称

yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk

22

十、二次函数与一元二次方程：

b24ac①图象与x轴交于两点Ax1，.0，Bx2，0(x1x2)，ABx2x1a②当0时，图象与x轴只有一个交点；

③当0时，图象与x轴没有交点.

1"当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；2"当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

2

扩展阅读：一元二次函数知识点汇总

一元二次函数知识点汇总

1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的一元二次函数.2.二次函数yax2的性质

(1)抛物线yax2（a0）的顶点是原点，对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号关系：

时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

0①当a4.二次函数yax2222bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中hb，k4acb.

2a4a5.抛物线yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a决定抛物线的开口方向：

当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a越小，抛物线的开口越大，a越大，抛物线的开口越小。②对称轴为平行于y轴(或重合)的直线，记作xh.特别地，y轴记作直线x0.③定点是抛物线的最值点[最大值(a0时)或最小值(a0时)]，坐标为(h,k)。6.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2bb4acbb4acb2(1)公式法：yaxbxcax，∴顶点是.（，），对称轴是直线x2a2a4a2a4a22(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是xh.

2(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点

连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★7.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线x①b0时，对称轴为y轴；②ba2b2a,故：

0时,对称轴在y轴左侧；③ba0时,对称轴在y轴右侧.

(3)c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.

2当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点(0，c)：

①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则ba0.

8.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2x0(y轴)yax(0,0)22222yax2k2当a0时开口向上a0时k当开口向下x0(y轴)xhxhxb2a(0,k)(h,0)(h,k)2yaxhyaxh2yax2bxc4acb，(2a4ab)

9.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)

(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah(3)抛物线与x轴的交点

ax22bhc).

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组

ykxn的解的数目来确定：2yaxbxc①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1，由于0，Bx2，0，

bcxx,xxx1、x2是方程axbxc0的两个根，故由韦达定理知：1212aa2ABx1x2x1x22x1x224x1x24cbaa2b4aca2a

11．二次函数与一元二次方程的关系：

22(1)一元二次方程0axbxc就是二次函数yaxbxc当函数y的值为0时的情况．(2)二次函数yaxbxc的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；

当二次函数yaxbxc的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y0时自变量x的值，即一元二次方程axbxc0的根．

22(3)当二次函数yaxbxc的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程yaxbxc有两个不

2相等的实数根；当二次函数yaxbxc的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程

222axbxc0有两个相等的实数根；当二次函数yaxbxc的图象与x轴没有交点时，则一元

22二次方程axbxc0没有实数根12.二次函数的应用：

(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

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