中学数学二次函数知识点总结教案

中学数学二次函数知识点总结教案

英才教育初中数学试题

二次函数知识点总结

二次函数知识点：

1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b、c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二次函数的基本形式

ya(xh)2k的性质：

总结：

a的符号

开口方向顶点坐标对称轴xh性质时，y随x的增大而增大；xh时，y随a0向上h，kX=hx的增大而减小；xh时，y有最小值k．时，y随x的增大而减小；xh时，y随xha0向下h，kX=hx的增大而增大；xh时，y有最大值k．

二次函数图象的平移

1.平移步骤：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式ya(xh)k，确定其顶点坐标(h,k)；⑵保持抛物线yax的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k英才教育初中数学试题

二次函数yaxbxc的性质对称轴为x2b2a，顶点坐标为(b2a,4acb4ab2ab2a2)

1.当a0时，抛物线开口向上，．当xb2ab2a时，y随x的增大而减小；当xb2ab时，y随x的增大而增大；当x时，ymin4acb4a2．2.

当a0时，抛物线开口向下，当x时，y随x的增大而增大；当x2a时，y随x的增大而减小；当xy时，

ymax4acb4a2．

六、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc(a,b,c为常数，a0)；

2.顶点式：ya(xh)k(a,h,k为常数，a0)，其中h2b2a4a3.两根式：ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

，k4acb2；

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：

①当b24ac0时，图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)，其中的x1,x2是一元二次方程

axbxc0(a0)的两根．这两点间的距离AB|x1x2|2b4ac|a|2.

②当0时，图象与x轴只有一个交点；

③当0时，图象与x轴没有交点.

1"当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

2"

当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

22.抛物线yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)；

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数yaxbxc中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

扩展阅读：中学数学二次函数知识点总结教案

二次函数知识点总结

二次函数知识点：

2b，c是常数，a0）的函数，叫做1．二次函数的概念：一般地，形如yaxbxc（a，c可二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2yaxbxc的结构特征：2.二次函数

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．⑵a，二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：yax的性质：

2oo

结论：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随a0向上00，y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下00，y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．2yaxc的性质：2.

结论：上加下减。

总结：

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随a0向上c0，y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值c．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下c0，y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c．3.yaxh的性质：

2结论：左加右减。

总结：a的符号

开口方向顶点坐标对称轴性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随a0向上0h，X=hx的增大而减小；xh时，y有最小值0．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0向下0h，X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值0．4.yaxhk的性质：

总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随a0向上h，kX=hx的增大而减小；xh时，y有最小值k．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0向下h，kX=hx的增大而增大；xh时，y有最大值k．二次函数图象的平移1.平移步骤：

k；⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，2k处，具体平移方法如下：⑵保持抛物线yax的形状不变，将其顶点平移到h，2y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h22yaxbxcya(xh)k，确定五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式

其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们0，c0，c2h，c选取的五点为：顶点、与y轴的交点、以及关于对称轴对称的点、

x，0x，0与x轴的交点1，2（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

2五、二次函数yaxbxc的性质

b4acb2b，x2a4a．a02a1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为

bbbxxx2a时，y随x的增大而减小；当2a时，y随x的增大而增大；当2a当

4acb2时，y有最小值4a．

b4acb2b，x2a4a．当a02a，顶点坐标为2.当时，抛物线开口向下，对称轴为

bbbxxx2a时，y随x的增大而增大；当2a时，y随x的增大而减小；当2a时，y4acb2有最大值4a．

六、二次函数解析式的表示方法

21.一般式：yaxbxc（a，b，c为常数，a0）；

2.顶点式：ya(xh)k（a，h，k为常数，a0）；

3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写

成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b4ac0时，抛物线的解析式才可以用交

点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

22七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数a

2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然a0．二次函数

⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

⑴在a0的前提下，

b0当b0时，2a，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

b0当b0时，2a，即抛物线的对称轴就是y轴；

b0当b0时，2a，即抛物线对称轴在y轴的右侧．⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即

b0当b0时，2a，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

b0当b0时，2a，即抛物线的对称轴就是y轴；

b0当b0时，2a，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：

3.常数项c

⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a，二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

二、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称

2关于cx轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；yaxbxyaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

2.关于y轴对称

2关于cy轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；yaxbxyaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；3.关于原点对称

2关于原点对称后，得到的解析式是cyax2bxc；yaxbx22kyaxhk；yaxh关于原点对称后，得到的解析式是

4.关于顶点对称

22b2yaxbxc2yaxbxc2a；关于顶点对称后，得到的解析式是

2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

22n对称5.关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk关于点m，22根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

22一元二次方程axbxc0是二次函数yaxbxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：

20，Bx2，0(x1x2)，①当b4ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，其中的x1，x22是一元二次方程axbxc0a0的两根．这两点间的距离

b24acABx2x1a.

②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.

1"当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；2"当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；2.抛物线

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，

b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

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