高考数学导数题型归纳(文科) (2)

高考数学导数题型归纳(文科) (2)

导数题型归纳

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令f"(x)0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,

第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立；从而转化为第一、二种题型例3:已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3，g(x)x（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）当x[1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x[1,4]时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围。

思路1：要使f(x)g(x)恒成立，只需h(x)0，即t(x22x)2x6分离变量思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f"(x)0或f"(x)0在给定区间上恒成立，回归基础题型

解法2：利用子区间；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知aR，函数f(x)3t62x(t1)x3(t0)213a12xx(4a1)x．122（Ⅰ）如果函数g(x)f(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数f(x)是(,)上的单调函数，求a的取值范围．

131x(2a)x2(1a)x(a0).32（I）求f(x)的单调区间；（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

例5、已知函数f(x)

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；

13(k1)21xx，g(x)kx，且f(x)在区间(2,)上为增函数．323(1)求实数k的取值范围；(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

例6、已知函数f(x)

12x2xc2（1）若x1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；

12（2）若g(x)bxxd，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的图像

2恒有含x1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。

例7、已知函数f(x)ax3

题2：切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f"(x)0的x的取值范围为(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P(1,m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、

例9、已知函数f(x)a3121xx，(aR,a0)（1）求f(x)的单调区间；（2）令g(x)＝x4＋f（x）（x∈R）

432有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

其它例题：

（a0）1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数f(x)ax32ax2b在区间2,1上的

最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若t[1,1]时，f(x）tx0恒成立，求实数x的取值范围.

23xax2bxc3(Ⅰ)若函数f(x)在x1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3xy0平行,求f(x)的解

2、（根分布与线性规划例子）已知函数f(x)析式；

(Ⅱ)当f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值时,设点M(b2,a1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.

323、（根的个数问题）已知函数f(x)axbx(c3a2b)xd(a0)的图象如图所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3xy110，求函数f(x)的解析式；（Ⅲ）若x05,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。

13xax2x1(aR)3（1）若函数f(x)在xx1,xx2处取得极值，且x1x22，求a的值及f(x)的单调区间；

4、（根的个数问题）已知函数f(x)（2）若a

1125，讨论曲线f(x)与g(x)x(2a1)x(2x1)的交点个数．226x32105、（简单切线问题）已知函数f(x)2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数

5a3bxg(x)f(x)2．3

a（Ⅰ）若函数g(x)在x1处有极值，求g(x)的解析式；

（Ⅱ）若函数g(x)在区间[1,1]上为增函数，且bmb4g(x)在区间[1,1]上都成立，求实数m的取值范围．

2

扩展阅读：高考数学导数题型归纳(文科) (1)

文科导数题型归纳

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f"(x)0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)0

g(0)g(3)030m209m330解法二：分离变量法：

∵当x0时,g(x)x2mx330恒成立,当0x3时,g(x)x2mx30恒成立

等价于mx3x3x2x3x的最大值（0x3）恒成立，

而h(x)xm2

（0x3）是增函数，则hmax(x)h(3)2

(2)∵当m2时f(x)在区间a,b上都为“凸函数”则等价于当m2时g(x)xmx30恒成立

2变更主元法

再等价于F(m)mxx230在m2恒成立（视为关于

F(2)0F(2)0m的一次函数最值问题）

20x2x31x122xx30ba2

-22请同学们参看201*第三次周考：例2：设函数f(x)13x2ax323axb(0a1,bR)

2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的x[a1,a2],不等式f(x)a恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

解：（Ⅰ）f(x)x4ax3ax3axa0a1

22

f(x)a3aa3a令f(x)0,得f(x)的单调递增区间为（a,3a）令f(x)0,得f(x)的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）

∴当x=a时，f(x)极小值=34ab;当x=3a时，f(x)3极大值

=b.

22（Ⅱ）由|f(x)|≤a，得：对任意的x[a1,a2],ax4ax3aa恒成立①

则等价于g(x)这个二次函数gmax(x)agmin(x)ag(x)x24ax3a2的对称轴x2a

0a1,a1aa2a（放缩法）

即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

g(x)x4ax3a在[a1,a2]上是增函数.g(x)maxg(a2)2a1.g(x)ming(a1)4a4.22∴

a1,x2aa2

于是，对任意x[a1,a2]，不等式①恒成立，等价于

g(a2)4a4a,4解得a1.g(a1)2a1a5又0a1,∴

45a1.

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3，

g(x)x3t62x(t1)x32(t0)

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）当x[1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x[1,4]时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围。

f/(1)3a3解：（Ⅰ）f(x)3x2ax∴，解得

b2b1a（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减

/2又f(1)4,f(0)0,f(2)4,f(4)16∴f(x)的值域是[4,16]（Ⅲ）令h(x)f(x)g(x)t2x(t1)x32x[1,4]

2思路1：要使f(x)g(x)恒成立，只需h(x)0，即t(x2x)2x6分离变量思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为f"(x)0或f"(x)0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知aR，函数f(x)112x3a12x(4a1)x．

2（Ⅰ）如果函数g(x)f(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数f(x)是(,解：f(x))上的单调函数，求a的取值范围．

14x(a1)x(4a1).

1123x3x，f(x)2（Ⅰ）∵f(x)是偶函数，∴a1.此时f(x)14x3，

2令f(x)0，解得：x23.列表如下：

xf(x)f(x)(－∞,－2+递增3)－203(－23,23)－递减230(23,+∞)+递增极大值极小值可知：f(x)的极大值为f(23)43，f(x)的极小值为f(23)43.（Ⅱ）∵函数f(x)是(,∴f(x))上的单调函数，

14x(a1)x(4a1)0，在给定区间

22R上恒成立判别式法

则(a1)414(4a1)a2a0，解得：0a2.

2综上，a的取值范围是{a0a2}.

例5、已知函数f(x)13x312(2a)x(1a)x(a0).

2（I）求f(x)的单调区间；

（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

2（I）f(x)x(2a)x1a(x1)(x1a).

21、当a0时,f(x)(x1)0恒成立,当且仅当x1时取“=”号，f(x)在(,)单调递增。2、当a0时,由f(x)0,得x11,x2a1,且x1x2,

f(x)-1a-1,(1,单调增区间：(,1)a,1)单调增区间：(1a1是上述增区间的子（II）当f(x)在[0,1]上单调递增,则0,集：

1、a0时，f(x)在(,)单调递增符合题意2、0,1a1,，a10a1综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与

0的关

系；

第三步：解不等式（组）即可；例6、已知函数f(x)13x3(k1)2x，g(x)213kx，且f(x)在区间(2,)上为增函数．

（1）求实数k的取值范围；

（2）若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

2解：（1）由题意f(x)x(k1)x∵f(x)在区间(2,)上为增函数，

2∴f(x)x(k1)x0在区间(2,)上恒成立（分离变量法）

即k1x恒成立，又x2，∴k12，故k1∴k的取值范围为k1（2）设h(x)f(x)g(x)h(x)x2x33(k1)2x2kx13，

(k1)xk(xk)(x1)

2令h(x)0得xk或x1由（1）知k1，

①当k1时，h(x)(x1)0，h(x)在R上递增，显然不合题意②当k1时，h(x)，h(x)随x的变化情况如下表：

x(,k)(k,1)kh(x)h(x)1(1,)k60极大值3130极小值k12k22由于

k120，欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)0有三个不同的实根，故需k36k22130，即(k1)(k2k1，解得k12k2)0∴2k2k203

综上，所求k的取值范围为k13

根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数f(x)ax312x2xc

2（1）若x1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；（2）若g(x)12bxxd，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的

高考资源网2图像恒有含x1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。

解：（1）∵f(x)的图像过原点，则f(0)0c0f(x)3ax2x2，

又∵x1是f(x)的极值点，则f(1)3a120a1

2f(x)3xx2(3x2)(x1)0

23227f(x)-123f极大值(x)f(1)32)f极小值(x)f(

（2）设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x1的三个不同交点，

等价于f(x)g(x)有含x1的三个根，即：f(1)g(1)dx3312(b1)

12x2x122122bxx12212(b1)整理得：

即：x(b1)xx(b1)0恒有含x1的三个不等实根

12(b1)xx2（计算难点来了：）h(x)x312(b1)0有含x1的根，

则h(x)必可分解为(x1)(二次式)0，故用添项配凑法因式分解，

xxx32212(b1)xx212(b1)0

1122x(x1)(b1)xx(b1)0

22x(x1)121(b1)x22x(b1)0210)b(1)x十字相乘法分解：x2(x1)(b1x121(x1)x(b1)x(b1)0

22x312(b1)xx221212(b1)0恒有含x1的三个不等实根(b1)0有两个不等于-1的不等实根。

等价于x12(b1)x112(b1)4(b1)042b(,1)(1,3)(3,)(1)21(b1)1(b1)022

题2：切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

32例7、已知函数f(x)axbxcx在点x0处取得极小值－4，使其导数f"(x)0的x的取值范围

为(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P(1,m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

（1）由题意得：f"(x)3ax2bxc3a(x1)(x3),(a0)

∴在(,1)上f"(x)0；在(1,3)上f"(x)0；在(3,)上f"(x)0因此f(x)在x01处取得极小值4

∴abc4①，f"(1)3a2bc0②，f"(3)27a6bc0③

a132由①②③联立得：b6，∴f(x)x6x9x

c9,（2）设切点Q(t,f(t))，yf(t)f(t)(xt)

2

y(3t12t9)(xt)(t6t9t)(3t12t9)xt(3t12t9)t(t6t9)(3t12t9)xt(2t6t)过(1,m)m(3t12t9)(1)2t6tg(t)2t2t12t9m0

3223222222232令g"(t)6t6t126(tt2)0，求得：t1,t2，方程g(t)0有三个根。需：g(1)023129m0m16g(2)01612249m0m1122故：11m16；因此所求实数m的范围为：(11,16)

题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法

例8、

17

解：函数的定义域为R（Ⅰ）当m＝4时，f(x)＝x3－x2＋10x，

322

f(x)＝x－7x＋10，令f(x)0，解得x5,或x2.

令f(x)0，解得2x5

可知函数f(x)的单调递增区间为(,2)和（5，＋∞），单调递减区间为2,5．（Ⅱ）f(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6,

要使函数y＝f(x)在（1，＋∞）有两个极值点,f(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）

根分布问题：

1(m3)24(m6)0;则f(1)1(m3)m60;，解得m＞3m31.2

例9、已知函数f(x)a3x312x，(aR,a0)（1）求f(x)的单调区间；（2）令g(x)＝

214x4＋f

（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．解：（1）f(x)axxx(ax1)

"当a0时，令f(x)0解得x"21a或x0，令f(x)0解得1a,0).

"1ax0，

所以f(x)的递增区间为(,1a)(0,)，递减区间为(1a当a0时，同理可得f(x)的递增区间为(0，)，递减区间为(,0)(1a,).

（2）g(x)314x24a3x312x有且仅有3个极值点

222g(x)xaxxx(xax1)=0有3个根，则x0或xax10，a2

2方程xax10有两个非零实根，所以a40,

2a2或a而当a2或a2时可证函数yg(x)有且仅有3个极值点

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数f(x)ax32ax2b（a0）在区间2,1上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）若t[1,1]时，f(x）tx0恒成立，求实数x的取值范围.解：（Ⅰ）f(x)ax2axb,f(x)3ax4axax(3x4)

"令f(x)=0,得x10,x232"2432,1

因为a0，所以可得下表：xf(x)"2,0+00极大0,1-f(x)因此f(0)必为最大值,∴f（0）5因此b5，f(2)16a5,f(1)a5,f(1)f(2)，

32即f(2)16a511，∴a1，∴f(x）x2x5.

22（Ⅱ）∵f(x)3x4x，∴f(x）tx0等价于3x4xtx0，

2令g(t)xt3x4x，则问题就是g(t)0在t[1,1]上恒成立时，求实数x的取值范围，

3x25x0g(1)0为此只需，即2，

g（1)0xx0解得0x1，所以所求实数x的取值范围是[0，1].2、（根分布与线性规划例子）

（1）已知函数f(x)23xaxbxc

32(Ⅰ)若函数f(x)在x1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3xy0平行,求

f(x)的解析式；

(Ⅱ)当f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值时,设点M(b2,a1)所在平

面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解：(Ⅰ).由f(x)2x22axb,函数f(x)在x1时有极值,

∴2ab20∵f(0)1∴c1又∵f(x)在(0,1)处的切线与直线3xy0平行,∴f(0)b3故a∴f(x)23x312

12x3x1…………………….7分

2)取得极小值,

2(Ⅱ)解法一:由f(x)2x22axb及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,f(0)0∴f(1)0即

f(2)0b02ab20令M(x,4ab80xb2y),则

ya1x20ay1∴∴2yx20故点M所在平面区域S为如图△ABC,

bx24yx60易得A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,32),SABC2

同时DE为△ABC的中位线,SDEC∴所求一条直线L的方程为:

x0

13S四边形ABED

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为ykx,它与AC,BC分别交于F、G,则k0,S四边形DEGF1

由ykx2yx20ykx4yx60得点F的横坐标为:xF22k164k1

由得点G的横坐标为:xG12326

∴S四边形DEGFSOGESOFD解得:k124k112122k1121即16k2k50

2或k58(舍去)故这时直线方程为:y12x

综上,所求直线方程为:x0或yx.…………….………….12分

2)取得极小值,

2(Ⅱ)解法二:由f(x)2x2axb及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,∴f(0)0b0f(1)0即2ab20令M(x,4ab80f(2)0xb2y),则

ya1x20ay1∴∴2yx20故点M所在平面区域S为如图△ABC,

bx24yx60易得A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,32),SABC2

同时DE为△ABC的中位线,SDEC13S四边形ABED∴所求一条直线L的方程为:x0

12x,设直线BO与AC交于H,

另一种情况由于直线BO方程为:y1yx由得直线L与AC交点为:H(1,22yx201*)

∵SABC2,SDEC121221212,SABHSABOSAOH12211221212

∴所求直线方程为:x0或yx

323、（根的个数问题）已知函数f(x)axbx(c3a2b)xd(a0)的图象如图所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3xy110，求函数f(x)的解析式；

（Ⅲ）若x05,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。解：由题知：f(x)3ax2bx+c-3a-2b

（Ⅰ）由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且f1=0

d3

3a2bc3a2b0c0d32

得（Ⅱ）依题意

f2=3且f(2)=5

12a4b3a2b3解得a=1,b=68a4b6a4b35所以f(x)=x36x2+9x+3

（Ⅲ）依题意f(x)=ax3+bx2(3a+2b)x+3(a＞0)

2

fx=3ax+2bx3a2b由f5=0b=9a

①

若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)＜8a＜f(1)②由①②得25a+3＜8a＜7a+3所以当

111111＜a＜3

＜a＜3时，方程f(x)=8a有三个不同的根。12分

13xaxx1(aR)

324、（根的个数问题）已知函数f(x)（1）若函数f(x)在xx1,xx2处取得极值，且x1x22，求a的值及f(x)的单调区间；（2）若a12，讨论曲线f(x)与g(x)12x(2a1)x256(2x1)的交点个数．

解：（1）f"(x)x22ax1

x1x22a,x1x21

x1x2(x1x2)4x1x224a42

2a02分

22f(x)x2ax1x1

令f(x)0得x1,或x1令f(x)0得1x1

∴f(x)的单调递增区间为(,1)，(1,)，单调递减区间为(1,1)5分（2）由题f(x)g(x)得

即

13x(a133313xaxx1160

163212x(2a1)x256

12)x2ax1222令(x)x(a2)x2ax(2x1)6分

(x)x(2a1)x2a(x2a)(x1)

令(x)0得x2a或x17分

a12

当2a2即a1时

x2(2,1)1(x)－(x)8a92a

此时，8a920，a0，有一个交点；9分12当2a2即1ax时，

(2,2a)22a023a(32a)2(2a,1)1(x)(x)2328a92＋16aa(32a)929160,

9169a0时，有两个交点；当8a0，且a0即21619当0a时，8a0，有一个交点．13分

2291综上可知，当a或0a时，有一个交点；

1629a0时，有两个交点．14分当16∴当8a0即1a时,有一个交点；

5、（简单切线问题）已知函数f(x)g(x)f(x)3bxxa32图象上斜率为3的两条切线间的距离为

2105，函数

3．2a（Ⅰ）若函数g(x)在x1处有极值，求g(x)的解析式；

（Ⅱ）若函数g(x)在区间[1,1]上为增函数，且bmb4g(x)在区间[1,1]上都成立，求实数m的取值范围．

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