201*年湖南省高考数学理科真题文字版有详解

201*年湖南省高考数学理科真题文字版有详解

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201*年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数zi1ii为虚数单位在复平面上对应的点位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3.在锐角中ABC，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB3b,则角A等于A．

B．C．D．12643y2x4.若变量x,y满足约束条件xy1，则x2y的最大值是

y1555A．-B．0C．D．

3225.函数fx2lnx的图像与函数gxx24x5的图像的交点个数为A．3B．2C．1D．0

b0.若向量c满足cab1,则c的取值范围是6.已知a,b是单位向量，a,2+1,2+2A．2-1，B．2-1，,2+2,2+1C．1，D．1，7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于．．．

第1页共1页

A．1B．2C．

2-12+1D．228.在等腰三角形ABC中，AB=AC4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过ABC的中心，则AP等于

A．2B．1

84C．D．

33

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.

（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）

xt,x3cos,l:(t为参数)过椭圆C:9.在平面直角坐标系xoy中，若ytay2sin

(为参数)的右顶点，则常数a的值为.10.已知a,b,c,a2b3c6,则a24b29c2的最小值为.11.如图2，在半径为7的O中,弦AB,CD相交于点P,PAPB2,

PD1，则圆心O到弦CD的距离为.

（一）必做题（12-16题）

12.若x2dx9,则常数T的值为.

0T

13.执行如图3所示的程序框图，如果输入a1,b2,则输出的a的值为.

x2y214．设F1,F2是双曲线C:221(a0,b0)的两个焦点，P是C上一点，

ab若PF1PF26a,且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为___。

第2页共2页

15．设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)ann1,nN,则n2（1）a3_____；

（2）S1S2S100___________。

16．设函数f(x)axbxcx,其中ca0,cb0.

（1）记集合M(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，M所对且a=b，则(a,b,c)应的f(x)的零点的取值集合为____。

（2）若a,b,c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是.（写出所有正确结

论的序号）

①x,1,fx0;

②xR,使xax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长；③若ABC为钝角三角形，则x1,2,使fx0.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)sin(xx)cos(x).g(x)2sin2。63233。求g()的值；5（I）若是第一象限角，且f()（II）求使f(x)g(x)成立的x的取值集合。

18．（本小题满分12分）

某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。

第3页共3页

19．（本小题满分12分）

如图5，在直棱柱ABCDA1BC11D1中，AD//BC，BAD90,ACBD,BC1,ADAA13.

（I）证明：ACB1D；

（II）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。

20．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径

MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居

民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(10,0),C(14,0)处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。

（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；

（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。

21．（本小题满分13分）

过抛物线E:x22py(p0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同的直线l1,l2，且

k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，

N为圆心）的公共弦所在的直线记为l。

2（I）若k10,k20，证明；FMFN2P；

（II）若点M到直线l的距离的最小值为

75，求抛物线E的方程。522．（本小题满分13分）

已知a0，函数f(x)xa。

x2a第4页共4页

（I）记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a),求g(a)的表达式；

（II）是否存在a，使函数yf(x)在区间0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

第5页共5页

扩展阅读：201*年江西省高考数学理科真题文字版有详解

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201*年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)

数学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。

4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M={1，2，zi},i为虚数单位，N=｛3，4｝，M∩N=｛4｝，则复数z=（）

A.-2iB.2iC.-4iD.4i2.函数y=）

A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]

3.等比数列x，3x+3，6x+6，的的第四项等于（）

A.-24B.0C.12D.24

4.总体由编号为01，02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

第1页共1页

xln（1-x）的定义域为（

781665720802631407024369972801983204923449348201*623486969387481A.08B.07C.02D.015.（x2-错误！未找到引用源。）5展开式中的常数项为（）

A．80B.-80C.40D.-40

6.若，A.s1＜s2＜s3

C.s2＜s3＜s1

B.s2＜s1＜s3

则s1,s2,s3的大小关系为

D.s3＜s2＜s1

7.阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为

A.S=2*i-2C.S=2*I

B.S=2*i-1D.S=2*i+4

8.如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方体的六个面所在的平数分别记

第2页共2页

面与直线CE,EF相交的平面个为m，n，那么m+n=

A.8

B.9

C.10

D.11

引直线ι

的斜率等于

的曲线，O

9.过点（错误！未找到引用源。，0）

为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线ι

A.错误！未找到引用源。B.-错误！未找到引用源。C.错误！未找到引用源。D-错误！未找到引用源。

10.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线ιι//ι

11

，ι

2

之间，

，ι与半圆相交于F,G两点，

与三角形ABC两边相交于E,D两点。设弧FG的长为x(0＜x＜π),y=EB+BC+CD，若ι图像大致是

从ι

1

平行移动到ι

2

，则函数y=f(x)的

第Ⅱ卷

注意事项：

第卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

第3页共3页

11．函数y=sin2x+2错误！未找到引用源。sin

2

x的最小正周期T为_______.

12．设e1，e2为单位向量。且e1、e2的夹角为错误！未找到引用源。，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的射影为________.

13．设函数f(x)在（0，+∞）内可导，且f(ex)=x+ex，则f’（1）=__________.

14．抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________.

三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按其中一题评阅计分。本题共5分。15（1）．（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为：x=t，y=t2（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴简历极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______.（2）．（不等式选做题）在实数范围内，不等式|x-2|-1的解集为___________.

四．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（conA-错误！未找到引用源。sinA）cosB=0.

（1）求角B的大小；

（2）若a+c=1，求b的取值范围17．（本小题满分12分）

正项数列{an}的前n项和Sn满足：（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）令bn=错误！未找到引用源。，数列{bn}的前n项和为Tn．证明：对于任意n∈N*，都有Tn

5＜。64

||

18.（本小题满分12分）

小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X。若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。

第4页共4页

（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望。19（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB

△DCB，EA=EB=AB=1，PA=错误！未找到引用源。，连接

CE并延长交AD于F

（1）求证：AD⊥平面CFG；

（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值20．（本小题满分13分）如图，椭圆

经过点P（1.错误！未找到引用源。），

离心率e=错误！未找到引用源。，直线l的方程为x=4.

（1）求椭圆C的方程；

第5页共5页

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交

于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3。问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由21.（本小题满分14分）

已知函数f（x）=a（1-2丨x-错误！未找到引用源。丨），a为常数且a＞0.（1）证明：函数f（x）的图像关于直线x=错误！未找到引用源。对称；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为函数f（x）的二

阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A

（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性。

第6页共6页

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201*年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.C2.D3.A4.D5.C6.B7.C8.A9.B10.D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11.12.三、选做题：本大题5分。

15.（1）cos2sin0（2）0,4四、解答题：本大题共6小题，共75分。16.（本小题满分12分）

解：（1）由已知得cos(AB)cosAcosB3sinAcosB0

即有sinAsinB3sinAcosB0

因为sinA0，所以sinB3cosB0，又cosB0，所以tanB3，又0B，所以B2513.214.6232。

2（2）由余弦定理，有bac2accosB。因为ac1,cosB11212，有b3(a)。224又0a1，于是有

11b21，即有b1。4217.（本小题满分12分）

22S(nn)（1）解：由Sn(n2n1)Sn(n2n)0，得n(Sn1)0。

由于an是正项数列，所以Sn0,Snn2n。

于是a1S12,n2时，anSnSn1nn(n1)(n1)2n。综上，数列an的通项an2n。（2）证明：由于an2n,bn22n1。2(n2)2an第7页共7页

则bnn1111。224n2(n2)216n(n2)Tn11111111111…2222222221632435(n1)(n1)n(n2)1111122162n(1)n(22)115。(12)16264

18.（本小题满分12分）

2解：（1）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有C828种，

0时，两向量夹角为直角共有8种情形；所以小波参加学校合唱团的

概率为P(0)82。287（2）两向量数量积的所有可能取值为2,1,0,1,2时，有两种情形；1时，有8种情形；1时，有10种情形。所以的分布列为：PE(2)2101114514272715223+(1)01。1414771419.（本大题满分12分）

解：（1）在ABD中，因为E是BD的中点，所以EAEBEDAB1,故BAD2,ABEAEB3，

因为DABDCB,所以EABECB,从而有FEDFEA，

故EFAD,AFFD,又因为PGGD,所以FG∥PA。又PA平面ABCD，

所以GFAD,故AD平面CFG。（2）以点

A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则

33A(0,0,0),B(1,0,0),C(,,0),D(0,3,0),

2213333333P(0,0,)，故BC(，，0),CP(，,),CD(,,0)

22222222第8页共8页

13y0221设平面BCP的法向量n1(1,y1,z1)，则，

33y3z0112223y1323解得，即n1(1,,)。

33z21332设平面DCP的法向量n2(1,y2,z2)，则323y20y32，解得2，33z22y2z20224n1n223即n2(1,3,2)。从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos。416n1n28920.（本大题满分13分）解：（1）由P(1,①

依题设知a2c，则b3c②②代入①解得c21,a24,b23。

22319)在椭圆上得，2212a4bx2y21。故椭圆C的方程为43（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)③

代入椭圆方程3x24y212并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有

8k24(k23)x1x22,x1x2④24k34k3在方程③中令x4得，M的坐标为(4,3k)。

333y23k2,k2,k2k1。从而k123x11x21412y1第9页共9页

注意到A,F,B共线，则有kkAFkBF，即有

y1y2k。x11x2133y222y1y23(11)所以k1k2x11x21x11x212x11x22y12kx1x223⑤2x1x2(x1x2)18k22234k3④代入⑤得k1k22k2k1，8k224(k23)2124k34k3又k3k1，所以k1k22k3。故存在常数2符合题意。2方法二：设B(x0,y0)(x01)，则直线FB的方程为：yy0(x1)，x01令x4，求得M(4,3y0)，x012y0x01，

2(x01)从而直线PM的斜率为k3y0y(x1)x015x83y0,)，联立，得A(0222x52x500xy143则直线PA的斜率为：k12y02x052y03，直线PB的斜率为：k2，

2(x01)2(x01)所以k1k22y02x052y032y0x012k3，

2(x01)2(x01)x01故存在常数2符合题意。

21.（本大题满分14分）

（1）证明：因为f(x)a(12x),f(x)a(12x)，有f(x)f(x)，

12121212所以函数f(x)的图像关于直线x1对称。2第10页共10页

1,214ax,2（2）解：当0a时，有f(f(x))2

124a(1x),x.2x所以f(f(x))x只有一个解x0，又f(0)0，故0不是二阶周期点。

1,x,12当a时，有f(f(x))

121x,x.2x所以f(f(x))x有解集x|x期点。

11x，又当时，f(x)x，故x|x221中的所有点都不是二阶周21,4a4a2x,11x,212a4ax,4a2当a时，有f(f(x))

222a(12a)4ax,1x4a1,4a24a2x,24a4a1x.4ax2a2a2a2a4a2f(0)0,f(),,所以f(f(x))x有四个解0,，又，2212a12a14a12a14a2a2a4a4a2a4a2f(),f(),，故只有是f(x)的二阶周期点。综上所述，22222214a14a14a14a14a14a所求a的取值范围为a1。22a4a2,x2（3）由（2）得x1，

14a214a2因为x3为函数f(f(x))的最大值点，所以x314a1或x3。4a4a当x312a1时，S(a)。求导得：S"(a)4a4(14a2)2(a1212)(a)22，(14a2)2所以当a(,11212)时，S(a)单调递增，当a(,)时S(a)单调递减；

222第11页共11页

4a18a26a112a24a3当x3时，S(a)，求导得：S"(a)，

4a4(14a2)2(14a2)2112a24a3因a，从而有S"(a)0，2222(14a)所以当a(,)时S(a)单调递增。

12

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