高1立体几何知识点详细总结

高1立体几何知识点详细总结

必修二立体几何总结

一、立体几何网络图：

⑹

⑴⑵⑷平行公理线线平行⑶线面平行⑸面面平行⑾⒀⑺⑿⒁三垂线定理⑼⒂线线垂直⑽线面垂直⒃面面垂直三垂线逆定理⑻

（1）线线平行的判断：

⑴平行于同一直线的两直线平行。

⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。⑿垂直于同一平面的两直线平行。（2）线线垂直的判断：

⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。（3）线面平行的判断：

⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。（4）线面垂直的判断：

⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。

（5）面面平行的判断：

⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。（6）面面垂直的判断：

⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

二、其他定理：

（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；

直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；

（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；

如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。

（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。（6）异面直线的判定：①反证法；

②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。

1

（8）如果直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。（9）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。三、唯一性定理：

（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。

四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。

异面直线所成角的范围：0o90o；

注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以

通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。

（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为0o；②线面垂直：线面所成的角为90o；③斜线与平面所成的角：范围0o90o；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。

（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；

注意：还可以用射影法：cosS"S；其中为二面角l的大小，S为内的一个封

闭几何图形的面积；S"为内的一个封闭几何图形在内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。

五、常用的结论：

（1）若直线l在平面内的射影是直线l，直线m是平面内经过l的斜足的一条直线，l与l所

成的角为1，l与m所成的角为2,l与m所成的角为，则这三个角之间的关系是

coscos1cos2；

（2）如何确定点在平面的射影位置：

①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射影在这个角的平分

线上；

Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边夹角相等，那么斜

线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上；

Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这一点在平面上的射影在以这两点为端点的

线段的垂直平分线上。②垂线法：如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上的射影在

过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)；

③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面的交线上

(面面垂直的性质定理)；

④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。（3）在四面体ABCD中：

①若ABCD,BCAD，则ACBD；且A在平面BCD上的射影是BCD的垂心。②若ABACAD，则A在平面BCD上的射影是BCD的外心。

③若A到BC,CD,BD边的距离相等，则A在平面BCD上的射影是BCD的内心。六、多面体：（1）棱柱：

①定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平

行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

侧棱不垂直于底面

侧棱垂直于底面

底面是正多边形

棱柱斜棱柱

直

正棱柱；

底面是平行四边形

侧棱垂直于底面

底面是矩形

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是正方形

棱长都相等

长方体正四棱柱正方体。

②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形；Ⅱ、两底面是全等多边形；

Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；

Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。③面积：S直棱柱侧ch（c是底周长，h是高）

④体积：V棱柱Sh12S侧面d（S为底面积，h为高，d为已知侧面与它对棱的距离）（2）棱锥：

①定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫

做棱锥；

正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥；②性质：

Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，

截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；

截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；

Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形RtPOH，RtPOB，

RtPBH，RtBOH实现边，高，斜高间的换算

③面积：S1正棱锥2ch"（c为底周长，h"为斜高）P

④体积：V棱锥13Sh（S为底面积，h为高）

DC（3）正四面体：

OHA

对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为2B2a的正方体问题。对棱间的距离为

22a（正方体的边长）正四面体的高

63a（23l正方体体对角线）

正四面体的体积为

212a3（V1正方体4V小三棱锥3V正方体）

正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1:3（116l正方体体对角线：2l正方体体对角线）外接球的半径为

614a（是正方体的外接球，则半径2l正方体体对角线）

内切球的半径为

612a（是正四面体中心到四个面的距离，则半径16l正方体体对角线）

（4）球

（1）定义：①球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。②球体：球面所围成的几何体。

（2）性质：

①任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆）

两点的球面距离，是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长。②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且rR2d2，其中R为球半径，r为截面半径，d为球心的到截面的距离。

（3）面积公式：S4球面4R2（R为球半径）；（4）体积公式：V球3R3（R为球半径）

扩展阅读：高一立体几何知识点总结(学生版)

第二章知识点总结

一、平面

通常用一个平行四边形来表示.

平面常用希腊字母α、β、γ或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.

在立体几何中，大写字母A，B，C，表示点，小写字母，a,b,c,l,m,n,表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：

a)A∈l点A在直线l上；Aα点A不在平面α内；b)lα直线l在平面α内；c)aα直线a不在平面α内；

d)l∩m=A直线l与直线m相交于A点；e)α∩l=A平面α与直线l交于A点；f)α∩β=l平面α与平面β相交于直线l.二、平面的基本性质

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行三、证题方法直接证法证题方法反证法间接证法

同一法

练习1、已知直线b//c，且直线a与b,c都相交，求证：直线a,b,c共面

（注：《第二教材》25-26页，题型1、题型2）

四、空间线面的位置关系

共面平行没有公共点

(1)直线与直线相交有且只有一个公共点

异面(既不平行，又不相交)

直线在平面内有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行没有公共点

(直线在平面外)相交有且只有一公共点(3)平面与平面相交有一条公共直线(无数个公共点)

平行没有公共点

五、异面直线的判定

证明两条直线是异面直线通常采用反证法.

有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.

练习2、求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直

练习3、四面体SABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E,F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角是多少？

六、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定

①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.

②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ

④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）

⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）

⑥中位线定理、平行四边形、比例线段，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）(2)两直线垂直的判定

①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.

②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c

③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b.

④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.

⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.(3)直线与平面平行的判定

①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若aα,bα，a∥b,则a∥α.（线面平行的判定定理）

③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β.

练习4、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是SA,BD上的点，且求证：MN//平面SBC

AMBN=，SMNDSMDANBC

练习5、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，

_D求证MN∥平面BCE（用两种方法来证）_C_M

_H_A_B_N

_F_E

(4)直线与平面垂直的判定

①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）

③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.

⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)

练习6、已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．（1）求证：EF⊥平面GMC．

（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离

练习7、如图2.3.1-2，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及

EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有[]

A、AH⊥△EFH所在平面B、AD⊥△EFH所在平面C、HF⊥△AEF所在平面D、HD⊥△AEF所在平面

练习8、三棱锥PABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心

(5)两平面平行的判定

①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）

推论：一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.

(6)两平面垂直的判定

①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.

②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β.（面面垂直判定定理）练习9、直三棱柱连接

ABCA1B1C1中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是

CC1上任意一点，

A1B,BD,A1D,AD，则三棱锥

AA1BD的体积为（）

33331313aaaa126612A．B．C．D．

练习10、在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC,SASC23，M、

N分别为AB,SB的中点．

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离．

练习11、正方体

ABCDA1B1C1D1中，M是

AA1的中点．求证：平面MBD平面

BDC1

七、空间中的各种角等角定理及其推论

定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.

推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.1、异面直线所成的角

(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.

(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法

①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.

2、直线和平面所成的角斜线和射影所成的锐角(1)取值范围0°≤θ≤90°(2)求解方法

①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.3、二面角及二面角的平面角

(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.

(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面

角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.

若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.

二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是

0°＜θ≤180°

(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.

如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：

(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.

(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.

(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法

(Ⅳ)根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法

先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.

练习12、正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于___________________．

练习13、在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD所成角的正弦值.

AE

BDHF13.空间的各种距离

C点到平面的距离

(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求

①找到(或作出)表示距离的线段；

②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.

2)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=

1Sh，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构3造合适的三棱锥以便于计算.

直线和平面的距离、平行平面的距离

将线面、面面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.

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